2021-2022学年九年级数学人教版上册 22.2 二次函数与一元二次方程同步习题（word版含解析）

22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题
已知抛物线y=x2?x?1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2?m+2019的值为(????)
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
抛物线y=x2?x?6与x轴的交点坐标是(? ? )
A. (3,0) B. (?2,0)
C. (?6,0)和(1,0) D. (3,0)和(?2,0)
抛物线y=x2+bx+c如图所示，则关于x的方程?x2+bx+c=0的解是(? ? )
A. 无解 B. x=1
C. x=?4 D. x1=?1，x2=4
如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0)，与y轴交于点B(0,2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为(????)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是(????)
A. a<0
B. c<0
C. b2?4ac<0
D. a+b+c>0
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：
①abc<0；
②3a+b>0；
③4a?2b+c>0；
④b2=4a(c?n)；
⑤一元二次方程ax2+bx+c=n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是(????)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
已知二次函数y=x2?3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2?3x+m=0的两实数根是(????)
A. x1=1，x2=?1 B. x1=1，x2=3
C. x1=1，x2=2 D. x1=1，x2=3
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是(? ? )
A. ?13
C. x3或x


已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为(????)
A. x1=?3，x2=0
B. x1=3，x2=?1
C. x=?3
D. x1=?3，x2=1
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx?8=0(a≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为(??? )
A. ?4 B. ?2 C. 1 D. 3
二、填空题
若抛物线y=?x2?6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______．
抛物线y=ax2+bx+c经过A(?3,0)，B(1,0)两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是??????????．
如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为(4,0)，则点Q的坐标为______．
已知抛物线y=x2?(t+1)x+c(t,c是常数)与x轴的公共点的坐标为(m,0)，(n,0)，且0三、解答题
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,1)，且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0).求：
(1)抛物线的表达式；
(2)求这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标．
已知关于x的一元二次方程x2+x?m=0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)二次函数y=x2+x?m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x?m=0的解．
已知抛物线y=2x2?4x+c与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线y=2x2?4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．
如图，抛物线y=x2?2x?3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，顶点为C．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：把(m,0)代入y=x2?x?1得m2?m?1=0，
所以m2?m=1，
所以m2?m+2019=1+2019=2020．
故选：C．
把(m,0)代入y=x2?x?1得m2?m=1，然后利用整体代入的方法计算m2?m+2019的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】解：令y=0，则x2?x?6=0，解得x=?2或3，
故交点坐标为(3,0)和(?2,0)．
3.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标分别是?1，4，
∴关于x的方程x2+bx+c=0的解是x1=?1，x2=4．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD//x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0)，与y轴交于点B(0,2)，
∴OB=2，OA=1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD=OC=2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分=S矩形OCDA=OA?AD=1×2=2．
故选：B．
根据题意可推出OB=2，OA=1，AD=OC=2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．
5.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，故A错误；
∵抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，故B错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2?4ac>0，故C错误；
∵由图象可知当x=1时，y=a+b+c>0，
∴a+b+c>0，故D正确；
故选：D．
根据抛物线的开口方向，与x轴交点，与y轴的交点，以及当x=1时y值的符号进行判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2?4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2?4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
6.【答案】A
【解析】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
取x=0，得y=c>0，
又∵对称轴为?b2a=1，
∴b=?2a>0，
∴abc<0，
∴①正确，
3a+b=3a?2a=a<0，
∴②错误，
由抛物线的对称性得：
x=?2时，y=4a?2b+c<0，
∴③错误，
由图象得n=4ac?b24a，
即b2=4a(c?n)，
∴④正确，
∵y=ax2+bx+c的最大值为n，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无解，
∴⑤错误，
正确的为①④，
故选：A．
根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，取对称轴得出a和b的关系即可判断②，取x=2即可判断③，由顶点公式即可判断④，由函数的最大值即可判断⑤．
本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质及根据抛物线与x轴的交点坐标确定一元二次方程解的方法，求出抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．
关于x的一元二次方程x2?3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2?3x+m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标，求出抛物线与x轴的交点坐标即可．
【解答】
解：∵二次函数的解析式是y=x2?3x+m(m为常数)，
∴该抛物线的对称轴是：x=32．
又∵二次函数y=x2?3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0)，
∴关于x的一元二次方程x2?3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．
故选C．??
8.【答案】A
【解析】解：∵图象与x轴的交点是(?1,0)，(3,0)，当y<0时，图象在x轴的下方，此时?1∴x的取值范围是?19.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(?3,0)，对称轴为直线x=?1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为(?1×2?(?3),0)，即(1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=?3，x2=1．
故选：D．
由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴，可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，由两交点的横坐标即可得出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的对称性，找出抛物线与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与一元二次方程的关系．熟知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系是解答此题的关键．解题时，由题意可知?b2a=1，令y1=ax2+bx?8，则此抛物线的对称轴为x=?b2a=1，然后根据抛物线的对称性可以求出此抛物线与x轴的另一个交点横坐标即方程的另一个根．
【解答】
解：∵抛物线y=ax2+bx+3对称轴为直线x=1，
∴?b2a=1，
令y1=ax2+bx?8，
则此抛物线的对称轴为x=?b2a=1，
∵关于x的方程ax2+bx?8=0(a≠0)的一个根为4，
∴抛物线y1=ax2+bx?8与x轴的一个交点为(4,0)，
设抛物线y1=ax2+bx?8与x轴另一交点的坐标为(n,0)，
∴4+n2=1，
∴n=?2，
∴抛物线y1=ax2+bx?8与x轴另一个交点坐标为(?2,0)，
即关于x的方程ax2+bx?8=0(a≠0)的另一个根为x=?2．
故选B．??
11.【答案】m【解析】解：∵抛物线y=?x2?6x+m与x轴没有交点，
∴当y=0时，0=?x2?6x+m，
∴△=(?6)2?4×(?1)×m<0，
解得，m故答案为：m根据抛物线y=?x2?6x+m与x轴没有交点，可知当y=0时，0=?x2?6x+m，△<0，从而可以求得m的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12.【答案】x1=?3，x2=1
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(?3,0)，B(1,0)两点，
∴当x=?3或x=1时，y=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=?3，x2=1．
13.【答案】(?2,0)
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为(4,0)，
∴点Q的横坐标为1×2?4=?2，
∴点Q的坐标为(?2,0)．
故答案为：(?2,0)．
根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
14.【答案】m>t
【解析】解：
∵y=x2?(t+1)x+c，
∴其对称轴为x=t+12，
∵与x轴交于(m,0)、(n,0)两点，
∴m+n2=t+12，
整理可得n=t+1?m，
又0∴n<1，
∴t+1?m<1，
即t故答案为：m>t．
根据二次函数的对称性可得到m、n、t之间的关系式，再结合所给条件消去n，可找到m与t之间的关系，可判断其大小关系．
本题主要考查二次函数的对称性质，掌握二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,1)，
∴设抛物线解析式为：y=a(x?2)2+1，
将(3,0)代入函数解析式得：0=a(3?2)2+1，
解得：a=?1．
故抛物线的表达式为：y=?(x?2)2+1；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,1)，
∴其对称轴为直线x=2，
∵这条抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0)，
∴这条抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：(1,0)．
【解析】(1)直接利用顶点式代入函数解析式求出即可；
(2)利用二次函数对称性进而求出抛物线与x轴的另一个交点即可．
此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数对称性，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
16.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2+x?m=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即1+4m>0，
∴m>?14；
(2)二次函数y=x2+x?m图象的对称轴为直线x=?12，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=?12对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为(1,0)，
∴另一个交点为(?2,0)，
∴一元二次方程x2+x?m=0的解为x1=1，x2=?2．
【解析】(1)由△>0即可列不等式得到答案；
(2)根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
17.【答案】解：(1)∵抛物线y=2x2?4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2?4ac=16?8c>0，
∴c<2；
(2)抛物线y=2x2?4x+c的对称轴为直线x=1，
∴A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m【解析】(1)由二次函数与x轴交点情况，可知△>0；
(2)求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧，即可求解；
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
18.【答案】解：(1)当y=0时，x2?2x?3=0，解得x1=3，x2=?1，
所以A点坐标为(?1,0)，B点坐标为(3,0)；
(2)抛物线y=x2?2x?3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y=x2?2x?3+t，
则△=(?2)2?4(?3+t)=0，
解得t=4．
【解析】(1)通过解方程x2?2x?3=0得A点坐标和B点坐标；
(2)利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2?2x?3+t，利用判别式的意义得到△=(?2)2?4(?3+t)=0，然后解关于t的方程即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．