初中数学华师大版九年级上册第21章21.3二次根式的加减 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·蜀山期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A ，被开方数含字母，不是最简二次根式；
B 是最简二次根式；
C ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D ，被开方数中不含开得尽方得因数，不是最简二次根式；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可
2．（2021八下·吉林期中）若 是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A．24 B．16 C．7 D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的数或式，即可得出答案.
3．（2021·黑龙江）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法则计算求解即可。
4．（2021·奉贤模拟）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
的有理化因式是 ，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B．
【分析】如果两个根式的积不含根号，那么这两个根式叫做互为有理化因式，据此判断即可.
5．（2020九上·邓州月考）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A.
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则：根指数不变，被开方数相乘除进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可.
6．（2020八上·重庆月考）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．14 B．12 C．16 D．
【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：当 ， 时，
故答案为：B.
【分析】根据题意将x、y的值分别代入，再分母有理化，最后计算加减可得答案.
二、填空题
7．（2021·市南模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案諀：
【分析】根据二次根式的除法及零指数幂的性质进行计算即可.
8．（2021八上·成华期末）实数2﹣ 的倒数是 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： 的倒数是 ,
故答案为： .
【分析】先根据倒数的定义写出2﹣ 的倒数，再分母有理化即可.
9．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
10．（2020七上·景德镇期中）已知 ，则代数式 ．
【答案】2
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【解答】解：
∵ = = ，
∴ ，
∴
=
=
=
=
=2
故答案为：2．
【分析】先利用坟墓有理化将a化简，再代入计算即可。
11．（2020八上·大田期中）最简二次根式 与 可以合并，则m= ．
【答案】-1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为最简二次根式 与 可以合并，
可得：1-2m=3，
解得：m=-1．
【分析】根据最简二次根式的定义可知：被开方数相等，即：1-2m=3，求解即可。
12．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
三、计算题
13．（2021·广元）先化简，再求值： .其中 ， .
【答案】解：原式= ，
把 ， 代入得：原式= .
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘可化简原式，代入x、y的值，分母有理化可得结果.
四、综合题
14．（2021九上·梁平期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 和 的大小.可以先将它们分子有理化.如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值.做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值 ，所以y的最大值是 .
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解： ，
，
而 ， ，
，
；
（2）解：由 ， ，可知x≥0，
，
当 时， 有最小值1，则 有最大值 ，
所以y的最大值为 .
【知识点】实数大小的比较；二次根式有意义的条件；分母有理化
【解析】【分析】（1）根据分母有理化的逆用可把两个无理数化为同分子分数，比较分母大小即可；
（2）根据二次根式有意义可得x的取值范围，进而根据分子有理化把分子化为常数1，可得当x=0时，y有最大值.
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一、单选题
1．（2021八下·蜀山期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·吉林期中）若 是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A．24 B．16 C．7 D．
3．（2021·黑龙江）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·奉贤模拟）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·邓州月考）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·重庆月考）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．14 B．12 C．16 D．
二、填空题
7．（2021·市南模拟）计算： ．
8．（2021八上·成华期末）实数2﹣ 的倒数是 .
9．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
10．（2020七上·景德镇期中）已知 ，则代数式 ．
11．（2020八上·大田期中）最简二次根式 与 可以合并，则m= ．
12．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
三、计算题
13．（2021·广元）先化简，再求值： .其中 ， .
四、综合题
14．（2021九上·梁平期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 和 的大小.可以先将它们分子有理化.如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值.做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值 ，所以y的最大值是 .
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A ，被开方数含字母，不是最简二次根式；
B 是最简二次根式；
C ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
D ，被开方数中不含开得尽方得因数，不是最简二次根式；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的数或式，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法则计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
的有理化因式是 ，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B．
【分析】如果两个根式的积不含根号，那么这两个根式叫做互为有理化因式，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A.
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则：根指数不变，被开方数相乘除进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可.
6．【答案】B
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：当 ， 时，
故答案为：B.
【分析】根据题意将x、y的值分别代入，再分母有理化，最后计算加减可得答案.
7．【答案】
【知识点】零指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案諀：
【分析】根据二次根式的除法及零指数幂的性质进行计算即可.
8．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： 的倒数是 ,
故答案为： .
【分析】先根据倒数的定义写出2﹣ 的倒数，再分母有理化即可.
9．【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
10．【答案】2
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【解答】解：
∵ = = ，
∴ ，
∴
=
=
=
=
=2
故答案为：2．
【分析】先利用坟墓有理化将a化简，再代入计算即可。
11．【答案】-1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：因为最简二次根式 与 可以合并，
可得：1-2m=3，
解得：m=-1．
【分析】根据最简二次根式的定义可知：被开方数相等，即：1-2m=3，求解即可。
12．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
13．【答案】解：原式= ，
把 ， 代入得：原式= .
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘可化简原式，代入x、y的值，分母有理化可得结果.
14．【答案】（1）解： ，
，
而 ， ，
，
；
（2）解：由 ， ，可知x≥0，
，
当 时， 有最小值1，则 有最大值 ，
所以y的最大值为 .
【知识点】实数大小的比较；二次根式有意义的条件；分母有理化
【解析】【分析】（1）根据分母有理化的逆用可把两个无理数化为同分子分数，比较分母大小即可；
（2）根据二次根式有意义可得x的取值范围，进而根据分子有理化把分子化为常数1，可得当x=0时，y有最大值.
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