初中数学华师大版九年级上学期第22章22.1一元二次方程同步练习
一、单选题
1．（2021·坪山模拟）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0中，即可求出a值.
2．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
3．（2020九上·新余月考）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．0或2 C．1或2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得，m2-2m=0，
解得：m=0，或m=2，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出m2-2m=0，求解即可。
4．（2020九上·宁化月考）要使方程 是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，
∴ ，即 ．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式求解即可。
5．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）如果关于x的方程 是一元二次方程，则m为（ ）
A．-1 B．-1或3 C．3 D．1或-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据题意得
m-3≠0，m2-2m-1=2，解得m=-1．
所以选A．
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
6．（2021·长安模拟）亮亮在解一元二次方程： □ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1 B．0 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式先求出△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再求出c≤9，最后求解即可。
7．（2021八下·龙口期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2﹣5x+6＝0，因式分解可得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；故答案为：C．
【分析】此题考查一元二次方程的解法，同时注意三角形的三边关系即可.
二、填空题
8．（2021八下·龙口期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝ ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到 ，解得m＝2．
【分析】一元二次方程最高次项为2次，二次项系数不为0
9．（2021·长沙）若关于 的方程 的一个根为3，则 的值为 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意，将 代入方程 得： ，
解得 ，
故答案为：-1.
【分析】由题意把x=3代入方程可得关于k的方程，解方程可求解.
10．（2021·兴化模拟） 是方程 的一个根，则代数式 的值是 .
【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 ，
，
，
故答案为：2019.
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，再作为整体代入即可得.
11．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
12．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
13．（2021八下·拱墅月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣ ＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝ ，x2＝ ，
若x1＝2x2，则， ＝ ×2，
即， ﹣ ×2＝0，
∴ ＝0，
∴ ＝0，
∴3 ＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则， ×2＝ ，
即，则， ×2﹣ ＝0，
∴ ＝0，
∴﹣b+3 ＝0，
∴b＝3 ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
【分析】 ①先解一元二次方程，求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；
③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
三、计算题
14．（2020·铁西模拟）先化简，再求值： ，其中a是方程x2－x=6的根.
【答案】解：原式= .
∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6.
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式，再根据方程根的定义得出 a2－a=6 ，最后整体原式化简的结果进行计算即可.
四、综合题
15．（2020九上·芜湖月考）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1
（2）依题意得：m－2=0，或 或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 或 且2m+2≠0．
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.1一元二次方程同步练习
一、单选题
1．（2021·坪山模拟）若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021八下·瑶海期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·新余月考）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．0或2 C．1或2 D．0
4．（2020九上·宁化月考）要使方程 是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
5．（华师大版数学九年级上册第22章二次根式22.1一元二次方程 同步练习）如果关于x的方程 是一元二次方程，则m为（ ）
A．-1 B．-1或3 C．3 D．1或-3
6．（2021·长安模拟）亮亮在解一元二次方程： □ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1 B．0 C．7 D．9
7．（2021八下·龙口期中）已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
二、填空题
8．（2021八下·龙口期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝ ．
9．（2021·长沙）若关于 的方程 的一个根为3，则 的值为 .
10．（2021·兴化模拟） 是方程 的一个根，则代数式 的值是 .
11．（2021·永州模拟）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是
12．（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
13．（2021八下·拱墅月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
三、计算题
14．（2020·铁西模拟）先化简，再求值： ，其中a是方程x2－x=6的根.
四、综合题
15．（2020九上·芜湖月考）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0中，即可求出a值.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、∵ ，
∴ ，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A符合题意；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当 =0，b≠0时 ，一元一次方程，当 时 是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故答案为：A．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意得，m2-2m=0，
解得：m=0，或m=2，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出m2-2m=0，求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程二次项系数不能为零，
∴ ，即 ．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据题意得
m-3≠0，m2-2m-1=2，解得m=-1．
所以选A．
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式先求出△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再求出c≤9，最后求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2﹣5x+6＝0，因式分解可得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；故答案为：C．
【分析】此题考查一元二次方程的解法，同时注意三角形的三边关系即可.
8．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到 ，解得m＝2．
【分析】一元二次方程最高次项为2次，二次项系数不为0
9．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意，将 代入方程 得： ，
解得 ，
故答案为：-1.
【分析】由题意把x=3代入方程可得关于k的方程，解方程可求解.
10．【答案】2019
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 ，
，
，
故答案为：2019.
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，再作为整体代入即可得.
11．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项，将方程组转化为形如“ax2+bx+c=0（a≠0）”的形式，其中a就是二次项的系数，b就是一次项的系数，c就是常数项，据此即可求出常数项.
12．【答案】m=1或m>2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x=，符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x=，不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1=，x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。
13．【答案】②③④
【知识点】一元二次方程的根；定义新运算
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣ ＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝ ，x2＝ ，
若x1＝2x2，则， ＝ ×2，
即， ﹣ ×2＝0，
∴ ＝0，
∴ ＝0，
∴3 ＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则， ×2＝ ，
即，则， ×2﹣ ＝0，
∴ ＝0，
∴﹣b+3 ＝0，
∴b＝3 ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
【分析】 ①先解一元二次方程，求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；
③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
14．【答案】解：原式= .
∵a是方程x2－x=6的根，∴a2－a=6.
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式，再根据方程根的定义得出 a2－a=6 ，最后整体原式化简的结果进行计算即可.
15．【答案】（1）依题意得：m﹣2≠0且 ，解得：m=－4，此时方程为： ，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1
（2）依题意得：m－2=0，或 或 且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．
即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且 ，解答即可；（2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或 或 且2m+2≠0．
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