初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.1直接开平方法和因式分解法同步练习
一、单选题
1．（2021·绥宁模拟）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．9
2．（2021九上·富县期末）关于x的方程 能直接开平方求解的条件是（ ）
A． ， B． ，
C．a为任意数且 D．a为任意数且
3．（2021九上·河池期末）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·太和模拟）一元二次方程 的解是（ ）
A． B． ，
C． ， D．无实数解
5．（2021八下·龙湾期中）已知实数x，y满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝48，且xy＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2＝8或x2+y2＝﹣6 B．x﹣y＝2
C．x+y＝2 D．x+y＝±2
6．（2021九下·郓城月考）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8
B．10或
C．10或8
D．
7．（2021·凌云模拟）对于实数a、b定义新运算“ ”如下： ，如 ， ，若一元二次方程 的两根为 ( )，则 的 结果是（ ）
A．-3 B．-6 C．-8 D．2
8．（新人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课时练习）若a为方程（x- ）2=100的一根，b为方程（y-4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值是（ ）.
A．5 B．6 C． D．10-
9．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
二、填空题
10．（2021·南充）已知 ，则 ＝ ；
11．（2021·吉林模拟）若关于x的一元二次方程x2=c-1有实数根，则c的值可以为 (写出一个即可)
12．（2021·二道模拟）关于x的方程 有实数根，则a的取值范围为 ．
13．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
14．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
三、计算题
15．（2021·黑龙江模拟）解方程： ．
四、综合题
16．（2021九下·海淀月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
17．（2021八下·自贡开学考）观察下列方程的特征及其解的特点.
①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；
②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；
③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 ，其解为x1＝－4，x2＝－5；
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 ，其解为x1＝－n，x2＝－n－1；
（3）请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3，
所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9.
故答案为：D.
【分析】运用直接开平方法解方程得到a和b的值，然后计算2a﹣b的值.
2．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+a）2=b，
整理得：x2+2ax+a2-b=0，
△=（2a）2-4（a2-b）=4b≥0，
∴关于x的方程（x+a）2=b能直接开平方求解的条件是a为任意数且 ，
故答案为：D.
【分析】直接由,即可得到b≥0.
3．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵关于 的方程 有实数根
∴
故答案为：D.
【分析】先移项得到，再由偶数次幂的非负性，得到m第取值范围.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法解方程即可.
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
∴；，
∵xy＝2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先依据题意把方程中的看成一个整体，然后解方程即可求出的值，然后结合条件和运用完全平方公式即可求出x+y和x-y 的值，然后对比选项即可求解.
6．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8
当8为直角边时，第三边
当8为斜边长时，第三边
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：方程 变形得： ，
∵
∴解得： ， ，
∴
故答案为：C.
【分析】由公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解因式后得两个一元一次方程，解一元一次方程可求得方程的两个根；再判断两个根的大小，根据新运算计算即可求解.
8．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程（x- ）2=100，
得x- =±10，
∴x= ±10，
解方程（y-4）2=17，
得y-4= ，
∴y=4 ．
∵a、b都是正数，
∴a= +10，b=4+ ，
∴a-b=（ +10）－（4+ ）=6．
故选B．
【分析】先解方程，分别求出a与b的值，再代入，即可得出a-b的值．
9．【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
10．【答案】±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】由平方根得： ，
故答案为：±2.
【分析】观察方程特点：缺一次项，因此利用直接开平方法求解.
11．【答案】写出c≥1的数即可(答案不唯一)
【知识点】平方根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2=c-1有实数根，
∴c-1≥0，
∴c≥1，
∴c=2.
【分析】根据一元二次方程x2=c-1有实数根， 得出c-1≥0，解不等式求出c≥1，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
【分析】一元二次方程x2=P，当p≥0时，方程有实数根，据此解答即可.
13．【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
14．【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
15．【答案】解：
，
，
，
或 ，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
16．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝ ，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝ ，
∵方程的根都为正整数，
∴ 为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：
解之得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵-4×（-5）=20，-4+（-5）=-9，
∴符合上述特征的方程为：；
故答案为：；
（2）∵-n（-n-1）=n（n+1），-n+（-n-1）=-2n-1
∴符合上述特征的方程为：；
故答案为：
【分析】（1）根据阅读材料中的方程，可得规律．方程左边第一项和第二项的分母都是x，第二项的分子等于两根之积，方程右边等于两根之和，由此可得到符合题意的方程.
（2）根据第（1）中的规律，可得到符合题意的方程.
（3）利用（1）中的规律，将（x+3）看着整体，可将方程转化为，可得到x+3的值为-n和-n-1，由此可求出x的值.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.1直接开平方法和因式分解法同步练习
一、单选题
1．（2021·绥宁模拟）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3，
所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9.
故答案为：D.
【分析】运用直接开平方法解方程得到a和b的值，然后计算2a﹣b的值.
2．（2021九上·富县期末）关于x的方程 能直接开平方求解的条件是（ ）
A． ， B． ，
C．a为任意数且 D．a为任意数且
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+a）2=b，
整理得：x2+2ax+a2-b=0，
△=（2a）2-4（a2-b）=4b≥0，
∴关于x的方程（x+a）2=b能直接开平方求解的条件是a为任意数且 ，
故答案为：D.
【分析】直接由,即可得到b≥0.
3．（2021九上·河池期末）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵关于 的方程 有实数根
∴
故答案为：D.
【分析】先移项得到，再由偶数次幂的非负性，得到m第取值范围.
4．（2021·太和模拟）一元二次方程 的解是（ ）
A． B． ，
C． ， D．无实数解
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法解方程即可.
5．（2021八下·龙湾期中）已知实数x，y满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝48，且xy＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2＝8或x2+y2＝﹣6 B．x﹣y＝2
C．x+y＝2 D．x+y＝±2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
∴；，
∵xy＝2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先依据题意把方程中的看成一个整体，然后解方程即可求出的值，然后结合条件和运用完全平方公式即可求出x+y和x-y 的值，然后对比选项即可求解.
6．（2021九下·郓城月考）已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．6或8
B．10或
C．10或8
D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8
当8为直角边时，第三边
当8为斜边长时，第三边
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
7．（2021·凌云模拟）对于实数a、b定义新运算“ ”如下： ，如 ， ，若一元二次方程 的两根为 ( )，则 的 结果是（ ）
A．-3 B．-6 C．-8 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：方程 变形得： ，
∵
∴解得： ， ，
∴
故答案为：C.
【分析】由公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解因式后得两个一元一次方程，解一元一次方程可求得方程的两个根；再判断两个根的大小，根据新运算计算即可求解.
8．（新人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课时练习）若a为方程（x- ）2=100的一根，b为方程（y-4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值是（ ）.
A．5 B．6 C． D．10-
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程（x- ）2=100，
得x- =±10，
∴x= ±10，
解方程（y-4）2=17，
得y-4= ，
∴y=4 ．
∵a、b都是正数，
∴a= +10，b=4+ ，
∴a-b=（ +10）－（4+ ）=6．
故选B．
【分析】先解方程，分别求出a与b的值，再代入，即可得出a-b的值．
9．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
二、填空题
10．（2021·南充）已知 ，则 ＝ ；
【答案】±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】由平方根得： ，
故答案为：±2.
【分析】观察方程特点：缺一次项，因此利用直接开平方法求解.
11．（2021·吉林模拟）若关于x的一元二次方程x2=c-1有实数根，则c的值可以为 (写出一个即可)
【答案】写出c≥1的数即可(答案不唯一)
【知识点】平方根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2=c-1有实数根，
∴c-1≥0，
∴c≥1，
∴c=2.
【分析】根据一元二次方程x2=c-1有实数根， 得出c-1≥0，解不等式求出c≥1，即可得出答案.
12．（2021·二道模拟）关于x的方程 有实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
【分析】一元二次方程x2=P，当p≥0时，方程有实数根，据此解答即可.
13．（2021·十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为 .
【答案】-1或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可.
14．（2021·丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式
的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a＝b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式
的值是 ．
【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，
a2+2a=a+2
a2+a-2=0
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a=-2或1.
（2）
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0
（a-b）（a+b）+3（a-b）=0
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b
∴a-b≠0
∴a+b=-3；
由①+②得a2+b2+a+b=4
∴a2+b2=7
∵(a+b)2=9，
∴a2+b2+2ab=9
解之：ab=1
∴
【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值.
（2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为
，整体代入可求解.
三、计算题
15．（2021·黑龙江模拟）解方程： ．
【答案】解：
，
，
，
或 ，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
四、综合题
16．（2021九下·海淀月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝ ，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝ ，
∵方程的根都为正整数，
∴ 为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
17．（2021八下·自贡开学考）观察下列方程的特征及其解的特点.
①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；
②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；
③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 ，其解为x1＝－4，x2＝－5；
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 ，其解为x1＝－n，x2＝－n－1；
（3）请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
解之得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵-4×（-5）=20，-4+（-5）=-9，
∴符合上述特征的方程为：；
故答案为：；
（2）∵-n（-n-1）=n（n+1），-n+（-n-1）=-2n-1
∴符合上述特征的方程为：；
故答案为：
【分析】（1）根据阅读材料中的方程，可得规律．方程左边第一项和第二项的分母都是x，第二项的分子等于两根之积，方程右边等于两根之和，由此可得到符合题意的方程.
（2）根据第（1）中的规律，可得到符合题意的方程.
（3）利用（1）中的规律，将（x+3）看着整体，可将方程转化为，可得到x+3的值为-n和-n-1，由此可求出x的值.
1 / 1
