初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.2配方法同步练习
一、单选题
1．（2021八下·绍兴期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：两边同时加4，得
x2-4x+4=5
∴（x-2）2=5
故答案为：D．
【分析】用配方法解一元二次方程：第一步，把常数项移到等号左边；第二步，二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成完全平方的形式.
2．（2021八下·绍兴期中）给出以下方程的解题过程，其中正确的有（ ）
①解方程 （x﹣2）2＝16，两边同时开方得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；②解方程x（x﹣ ）＝（x﹣ ），两边同时除以（x﹣ ）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m+ ，x2＝m﹣ ．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①由原方程得
两边同时开方，得
，
移项，得
，
∴①错误；
②由原方程得
∴
∴x-1=0，或
∴，
∴②错误；
③由原方程得
x -3x=3
两边同时加，得
∴
∴
解得
，
∴③错误；
④当n≥0时，
解得
，
当n＜0时，方程无解；
∴④错误.
故答案为：A.
【分析】①在计算时，不能漏掉数字；②在等式的性质中，是“两边同时除以一个不为0的数”，可能为0；③因式分解法解方程时，等号右边一定是0，才能利用“若ab=0，则a=0，或b=0”的原理解题；④两边开方时，要保证被开方数是非负数.
3．（2021八下·绍兴期中）若方程x2﹣8x+m＝0可通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，则x2+8x+m＝5可配方成（ ）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-8x+m=0配方，得
∴m=10，n=4
对x2+8x+m=5配方，得
∴
故答案为：D.
【分析】通过对已知方程的配方，由对应的形式，可以得到m=10，n=4.所以，再对求解的方程配方，并把配方后的方程中的m换为10，把配方后的方程中的4换为n.
4．（2020九上·龙岗期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．
A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
∴选项A不符合题意；
即
∴选项B符合题意；
即
∴选项C不符合题意；
即
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
5．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
6．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
7．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
二、填空题
8．（2021八下·哈尔滨月考）用配方法解方程 ，配方后方程可化为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得x2﹣ x=2，
配方，得
x2﹣ x+（ ）2=2+（ ）2，即（x﹣ ）2= ．
故答案是： ．
【分析】利用配方法解方程即可。
9．（2021九上·秦淮期末）将一元二次方程 变形为 的形式为 .
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得
即
故答案为： .
【分析】根据配方法的步骤，先把常数项移到方程的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，再把方程的左边写成完全平方的形式，右边合并同类项，即可得出答案.
10．（2021八下·海曙月考）将一元二次方程x2-8x-5=0化成 的形式，则 = ．
【答案】-33
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-8x-5=0 ，移项得 x2-8x=5，配方得x2-8x+16=5+16，∴（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，∴3a-b=3×（-4）-21=-33.
故答案为：-33.
【分析】由配方法解一元二次方程：首先移项，在等号的左边只含二次项和一次项，然后配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，接着左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得a、b的值，代入可得结果.
11．（2021八下·丽水期中）对于实数m，n，我们定义一种运算为：m※n＝mn+m﹣n，则（a+b）※（a﹣b）＝ ，则方程x※（2※x）＝﹣3的解是 ．
【答案】a2-b2+2b；x=-1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （a+b）※（a﹣b）
＝(a+b)(a-b)+a+b-(a-b)
=a2-b2+a+b-a+b
=a2-b2+2b，
x※（2※x）＝﹣3
x※(2x+2- x)=-3
x※(x+2)=-3
x(x+2)+x- (x+2) = -3
x2+2x+x-x-2=-3
x2+ 2x+1= 0
(x+1)2= 0
x1=x2=-1
故答案为：a2-b2+2b，x=-1.
【分析】根据新定义的运算法则把原式计算，先展开，再合并同类项即可；根据新定义的运算法则计算得到一个关于x的一元二次方程，解之即可.
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
三、计算题
13．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
四、综合题
14．（2019九上·蠡县期中）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性．
【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）解：x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴x1＝1，x2＝8
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
15．（2020九上·邢台期中）嘉淇准备完成题目：解一元二次方程： ，
（1）若“ ”表示常数－7，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根，求“ ”的最大值；
（3）在（2）的条件下，直接写出方程的解．
【答案】（1）解： ，
，
，
或 ，
解得： ， ；
（2）解：由题意知：Δ＝ ≥0，
解得： ≤9，
因此， 的最大值为9；
（3）解：由题意知： ，
即： ，
解得： ．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，利用配方法解方程即可；
（2）根据方程有实数根，则方程根的判别式≥0，求出答案即可；
（3）将（2）的结果代入方程计算得到答案即可。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.2配方法同步练习
一、单选题
1．（2021八下·绍兴期中）用配方法解方程x2﹣4x＝1时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝5
C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5
2．（2021八下·绍兴期中）给出以下方程的解题过程，其中正确的有（ ）
①解方程 （x﹣2）2＝16，两边同时开方得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；②解方程x（x﹣ ）＝（x﹣ ），两边同时除以（x﹣ ）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m+ ，x2＝m﹣ ．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021八下·绍兴期中）若方程x2﹣8x+m＝0可通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，则x2+8x+m＝5可配方成（ ）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
4．（2020九上·龙岗期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．
A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C．2t2-7t-4=0化为 D．3y2-4y-2=0化为
5．（2020九上·迁安月考）下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
7．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
二、填空题
8．（2021八下·哈尔滨月考）用配方法解方程 ，配方后方程可化为 ．
9．（2021九上·秦淮期末）将一元二次方程 变形为 的形式为 .
10．（2021八下·海曙月考）将一元二次方程x2-8x-5=0化成 的形式，则 = ．
11．（2021八下·丽水期中）对于实数m，n，我们定义一种运算为：m※n＝mn+m﹣n，则（a+b）※（a﹣b）＝ ，则方程x※（2※x）＝﹣3的解是 ．
12．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.2 配方法 同步练习）已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
三、计算题
13．（2021八下·龙口期中）按要求解下列方程：
（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
四、综合题
14．（2019九上·蠡县期中）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性．
15．（2020九上·邢台期中）嘉淇准备完成题目：解一元二次方程： ，
（1）若“ ”表示常数－7，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根，求“ ”的最大值；
（3）在（2）的条件下，直接写出方程的解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：两边同时加4，得
x2-4x+4=5
∴（x-2）2=5
故答案为：D．
【分析】用配方法解一元二次方程：第一步，把常数项移到等号左边；第二步，二次项系数化为1；第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成完全平方的形式.
2．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①由原方程得
两边同时开方，得
，
移项，得
，
∴①错误；
②由原方程得
∴
∴x-1=0，或
∴，
∴②错误；
③由原方程得
x -3x=3
两边同时加，得
∴
∴
解得
，
∴③错误；
④当n≥0时，
解得
，
当n＜0时，方程无解；
∴④错误.
故答案为：A.
【分析】①在计算时，不能漏掉数字；②在等式的性质中，是“两边同时除以一个不为0的数”，可能为0；③因式分解法解方程时，等号右边一定是0，才能利用“若ab=0，则a=0，或b=0”的原理解题；④两边开方时，要保证被开方数是非负数.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由x2-8x+m=0配方，得
∴m=10，n=4
对x2+8x+m=5配方，得
∴
故答案为：D.
【分析】通过对已知方程的配方，由对应的形式，可以得到m=10，n=4.所以，再对求解的方程配方，并把配方后的方程中的m换为10，把配方后的方程中的4换为n.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
即
∴选项A不符合题意；
即
∴选项B符合题意；
即
∴选项C不符合题意；
即
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
去分母得： ，即 ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ，
则四个步骤中出现错误的是④．
故答案为： ．
【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
8．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由原方程，得x2﹣ x=2，
配方，得
x2﹣ x+（ ）2=2+（ ）2，即（x﹣ ）2= ．
故答案是： ．
【分析】利用配方法解方程即可。
9．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得
即
故答案为： .
【分析】根据配方法的步骤，先把常数项移到方程的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，再把方程的左边写成完全平方的形式，右边合并同类项，即可得出答案.
10．【答案】-33
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-8x-5=0 ，移项得 x2-8x=5，配方得x2-8x+16=5+16，∴（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，∴3a-b=3×（-4）-21=-33.
故答案为：-33.
【分析】由配方法解一元二次方程：首先移项，在等号的左边只含二次项和一次项，然后配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，接着左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得a、b的值，代入可得结果.
11．【答案】a2-b2+2b；x=-1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （a+b）※（a﹣b）
＝(a+b)(a-b)+a+b-(a-b)
=a2-b2+a+b-a+b
=a2-b2+2b，
x※（2※x）＝﹣3
x※(2x+2- x)=-3
x※(x+2)=-3
x(x+2)+x- (x+2) = -3
x2+2x+x-x-2=-3
x2+ 2x+1= 0
(x+1)2= 0
x1=x2=-1
故答案为：a2-b2+2b，x=-1.
【分析】根据新定义的运算法则把原式计算，先展开，再合并同类项即可；根据新定义的运算法则计算得到一个关于x的一元二次方程，解之即可.
12．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
【分析】要求代数式的最小值，需将代数式转化为完全平方式，根据平方的非负性即可求解。由已知条件可将z用含x、y的代数式表示，再将z的代数式代入中，根据完全平方公式将代数式配方得，原式=，根据平方的非负性可得，即的最小值为。
13．【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】
(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝ ，x2＝1
(2)解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝±
所以x＝1±
【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。
14．【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）解：x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴x1＝1，x2＝8
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
15．【答案】（1）解： ，
，
，
或 ，
解得： ， ；
（2）解：由题意知：Δ＝ ≥0，
解得： ≤9，
因此， 的最大值为9；
（3）解：由题意知： ，
即： ，
解得： ．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，利用配方法解方程即可；
（2）根据方程有实数根，则方程根的判别式≥0，求出答案即可；
（3）将（2）的结果代入方程计算得到答案即可。
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