初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.3公式法同步练习
一、单选题
1．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·施秉月考）用公式法解一元二次方程3x2+3=﹣2x时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a=3，b=2，c=3 B．a=﹣3，b=2，c=3
C．a=3，b=2，c=﹣3 D．a=3，b=﹣2，c=3
3．（2019八下·南昌期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
4．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川模拟）已知 是方程 的根，那么代数式 的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
6．（2020九上·迁安月考）已知 是一元二次方程 较大的根，则下列对 值估计正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九下·江阴期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b.以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.下列哪条线段的长度是方程x2+2ax－b2＝0的一个根（ ）
A．线段AD的长 B．线段BC的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长
8．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m
二、填空题
9．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
10．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
11．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
12．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
13．方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
三、计算题
14．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程:
（1）
（2）
（3）
（4）
四、综合题
15．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
16．（2020九上·渭滨期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① ；②
（2）已知关于x的方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
2．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2+3=﹣2x
∴3x2+2x+3=0
a=3，b=2，c=3.
故答案为：A.
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号.
3．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x＝ ，
故答案为：A．
【分析】根据求根公式即可求出答案．
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得
当 时，原式
∴原式 或 .
故答案为：D.
【分析】将括号里的-x-2添括号为-（x+2），再通分计算，将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后利用公式法求出方程的解，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程 得
∵ 是一元二次方程 较大的根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：B
【分析】先求出方程的解 ，再求出的范围，最后即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：
，
，
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，
线段AD的长是 的根，
故答案为：A.
【分析】将a,b作为常数，首先利用求根公式法求出方程的根，在Rt△ABC中，利用勾股定理得出然后整体代入即可简化方程的根，根据线段的和差即可得出结论.
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，
根据求根公式得到：
又因 b
∵a ,b
∵a＜b，∴a＜ ＜b，
∴m＜a＜b＜n．
所以本题选A
分析：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．
9．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
10．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
11．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
12．【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
13．【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
14．【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
15．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
16．【答案】（1）解：①
解方程得：（x-3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝-2，
∵3≠ 2＋1，
∴ 不是“邻根方程”；
②
x＝ = ，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∵ - =1，
∴ 是“邻根方程”；
（2）解：
解方程得：（x m）（x＋1）＝0，
∴x1＝m，x2＝ 1，
∵方程 （m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝ 1＋1或m＝ 1 1，
∴m＝0或 2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2.3公式法同步练习
一、单选题
1．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
2．（2019九上·施秉月考）用公式法解一元二次方程3x2+3=﹣2x时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a=3，b=2，c=3 B．a=﹣3，b=2，c=3
C．a=3，b=2，c=﹣3 D．a=3，b=﹣2，c=3
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2+3=﹣2x
∴3x2+2x+3=0
a=3，b=2，c=3.
故答案为：A.
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号.
3．（2019八下·南昌期末）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x＝ ，
故答案为：A．
【分析】根据求根公式即可求出答案．
4．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
5．（2021·四川模拟）已知 是方程 的根，那么代数式 的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得
当 时，原式
∴原式 或 .
故答案为：D.
【分析】将括号里的-x-2添括号为-（x+2），再通分计算，将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后利用公式法求出方程的解，将x的值代入化简后的代数式进行计算.
6．（2020九上·迁安月考）已知 是一元二次方程 较大的根，则下列对 值估计正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程 得
∵ 是一元二次方程 较大的根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：B
【分析】先求出方程的解 ，再求出的范围，最后即可得出答案．
7．（2020九下·江阴期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b.以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E.下列哪条线段的长度是方程x2+2ax－b2＝0的一个根（ ）
A．线段AD的长 B．线段BC的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：
，
，
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，
线段AD的长是 的根，
故答案为：A.
【分析】将a,b作为常数，首先利用求根公式法求出方程的根，在Rt△ABC中，利用勾股定理得出然后整体代入即可简化方程的根，根据线段的和差即可得出结论.
8．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】解答：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，
根据求根公式得到：
又因 b
∵a ,b
∵a＜b，∴a＜ ＜b，
∴m＜a＜b＜n．
所以本题选A
分析：方程可以化简为x2-（a+b）x+ab-1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．
二、填空题
9．（2020九上·朝阳期末）一元二次方程 的根为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
10．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
11．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
12．（2020九上·龙岗期末）对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是 。
【答案】2
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ∵x 4=-4，
∴x2-4x=-4，
∴x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x1=x2=2，
故答案为：2.
【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
13．方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
三、计算题
14．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程:
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
四、综合题
15．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
16．（2020九上·渭滨期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① ；②
（2）已知关于x的方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
【答案】（1）解：①
解方程得：（x-3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝-2，
∵3≠ 2＋1，
∴ 不是“邻根方程”；
②
x＝ = ，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∵ - =1，
∴ 是“邻根方程”；
（2）解：
解方程得：（x m）（x＋1）＝0，
∴x1＝m，x2＝ 1，
∵方程 （m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝ 1＋1或m＝ 1 1，
∴m＝0或 2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解.
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