(共35张PPT)
5.4
三角函数的图象与性质
5.4.1
正弦函数、余弦函数的图象
角
的正弦线和余弦线:
o
1
1
M
正弦线MP
余弦线OM
P
1.利用单位圆中的三角函数线作出
的图象，明确图象的形状.（难点）
3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，
并利用图象解决一些有关问题．使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．
（重点、难点）
2.根据关系
，作出
的图象.
（难点）
通过正、余弦函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
1、
如何利用正弦线画出
的图象？
o1
x
y
o
-1
1
提示:
微课1
正弦函数的图像
y=sinx,
x
[
0,
2
]
o1
o
1
x
y
-1
y=sinx,
x
[
0,
2
]
o1
o
1
x
y
-1
2、如何得到正弦函数
的图象呢？
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以
的图象在
…与其在
的图象形状完全一致.
只需要将
的图象向左、向右平移（每次
个单位长度），即可得到正弦函数的图象.
提示:
x
6?
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
5?
-2?
-3?
-4?
1
?
正弦曲线
C
【即时训练】
1、如何利用正弦函数
的图象得到余弦函数
的图象？
的图象
的图象
向左平移
个单位
余弦曲线
-
-
1
-1
x
提示:
微课2
余弦函数的图像
【即时训练】
-
-
-1
1
-
-1
1、
在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
微课3
五点法作图
提示:
(0,0)
-
-
-1
1
-
-1
2、
在作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
提示:
3、
通过上面的分析，你能不能更快捷地画出正弦函数和余弦函数的简图？如何画？
五点作图法：
(1)
列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标).
(2)
描点(定出五个关键点).
(3)
连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
提示:
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y=sinx，
x?[0,
2?]
和
y=cosx，
x?[
,
]的简图，并观察两条曲线，说出
它们的关系.
【即时训练】
x
sinx
0
1
0
0
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x?[0,
2?]
y=
cosx，x?[
,
]
向左平移
个单位长度
0
?
2
?
x
cosx
解：
0
?
1
0
0
-1
0
x
sinx
1+sinx
（1）y=1+sinx
,
x∈[0,2π]；
例.画出下列函数的简图：
（2）y=-cosx,
x∈[0,2π].
解：（1）按五个关键点列表：
0
0
0
0
1
-1
1
1
2
0
1
x
-1
O
2π
π
1
y
2
y=1+sinx，x∈[0,2π]
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
描点法作图的一般步骤：列表、描点、连线
y=sinx，x∈[0,2π]
（2）按五个关键点列表：
0
1
-1
1
0
0
1
-1
0
0
-1
x
cosx
-cosx
x
-1
O
2π
π
1
y
y=-cosx，x∈[0,2π]
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
y=cosx，x∈[0,2π]
1.分别作出下列函数简图（五点法作图）.
（1）y=2sinx
,
x∈[0,2π].
（2）y=sin2x
,
x∈[0,π].
【变式训练】
列表
②描点作图
解:（1）y=2sinx
,
x∈[0,2π]
①
x
0
?
2?
0
2
0
-2
0
y
2
x
O
y=2sinx,x∈[0,2π]
y=2sinx
1
-1
-2
列表
②描点作图
（2）y=sin2x
,
x∈[0,π]
①
x
0
?
0
?
2?
2x
0
1
0
-1
0
y
1
O
y=sin2x,x∈[0,π]
y=sin2x
-1
①
④
正弦函数、余弦函数图象的作法：
三角函数线法
五点法
平移法
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
正弦函数的图象
几何法
五点法
余弦函数的图象
平移法
五点法
利用五点法作图：（1）列表；（2）描点；（3）画图
正、余弦曲线形状相同，位置不同
直观想象：通过正、余弦函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
正弦函数、余
弦函数的图象
D
C
B
白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？
——俞良弼 (共39张PPT)
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质（二）
1.请回答：什么叫做周期函数？
2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
正弦函数、
余弦函数都是周期函数，
都是它们的周期，最小正周期均是
.
3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？
对于周期函数，如果我们能把握它在一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况.
1.
结合函数图象理解正弦函数及余弦函数的奇偶性、单调性、最值；(重点）
2.能熟练运用正弦函数、余弦函数的性质解题．
(重点、难点）
通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
微课1
奇偶性
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
x
y
O
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
正弦曲线关于原点O对称
y
x
O
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
余弦曲线关于y轴对称
提示:
2.根据图象的特点，猜想正余弦函数分别有什么性质？如何从理论上验证？
sin(-x)=-sinx(x?R)
y=sinx(x?R)
是奇函数
cos(-x)=cosx(x?R)
y=cosx(x?R)
是偶函数
定义域关于原点对称
提示:
D
【即时训练】
【互动探究】
微课2
单调性
1.当
时，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
y=sinx
提示:
…
0
…
…
?
…
y=sinx
(x?R)
增区间为
[
，
]
其值从-1增至1
x
sinx
-1
0
1
0
-1
减区间为
[
，
]
其值从1减至-1
还有其他单调区间吗?
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
y=sinx
2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间
和减区间？怎样把它们整合在一起？
增区间：
减区间：
周期性
提示:
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
y=sinx
3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从
增大到
，
在每个减区间上，函数值从
减小到
.
提示:
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到-1.
4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？
在每个闭区间____________________上都是减函数，
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
其值从____增大到____；
其值从____减小到____.
提示:
C
【即时训练】
正弦函数当且仅当x=______________时取得最大值
__；当且仅当x=_____________时取得最小值___.
微课3
最大值和最小值
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
提示:
余弦函数当且仅当x=__________时取得最大值___；
当且仅当x=___________时取得最小值___.
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.
最大值为2
最小值为-2
答案：
【即时训练】
例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.
【解析】这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数
取得最大值的
的集合为
使函数
取得最小值的
的集合为
最大值为
最小值为
使函数
取得最大值的
的集合是
（2）令
，
由
，得
因此使函数
取得最大值的
的集合为
最大值为3.
同理使函数
取得最小值的
的集合为
最小值为-3.
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少.
【解析】
最大值为3
最小值为1
【变式练习】
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin(
)
与
sin(
).
(2)
cos(
)
与cos(
).
【解析】
（1）因为
又y=sinx
在
上是增函数,
所以sin(
)
>
sin(
).
想一想：用正弦函数的哪个单调区间进行比较？
(2)
cos(
)=cos
=
cos
,
cos(
)=cos
=cos
.
因为
所以cos
>
cos
,
又
y=cosx
在
上是减函数,
即cos(
)>
cos(
).
【变式练习】
例3.求函数
的单调递增区间.
【解析】令
函数
的单调递增区间是
由
得
设
可得
所以原函数的单调递增区间为
【变式练习】
奇偶性
单调性（单调区间）
奇函数
偶函数
[
+2k?,
+2k?],k?Z
单调递增
[
+2k?,
+2k?],k?Z
单调递减
[
+2k?,2k?],k?Z
单调递增
[2k?,2k?+?],k?Z
单调递减
函数
余弦函数
正弦函数
正弦函数、余弦函数的性质（二）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
周期性
奇偶性
单调性
最值
A
3、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:
霸祖孤身取二江，子孙多以百城降.豪华尽出成功后，逸乐安知与祸双？
——王安石 (共30张PPT)
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质（一）
正弦曲线、余弦曲线
图象的作法：
y
x
o
1
-1
y=sinx，x?[0,
2?]
y=cosx，x?[0,
2?]
平移法
三角函数线法
五点法
正弦函数图像特征：
-
-
-1
1
-
-1
在函数
的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
注意：函数图像的凹凸性！
-
-
-
-1
1
-
-1
在函数
的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
余弦函数图像特征：
注意：函数图像的凹凸性！
问题：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值；
1.结合函数图象理解函数的定义域、值域、周期
性.
2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期的定义，并会求简单函数的周期.
(重点）
通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
y
x
y
O
1
-1
y=cosx
微课1
正弦函数、余弦函数的周期性
1、正弦函数、余弦函数的图像向左、向右无限伸展；
2、正弦函数、余弦函数的图像夹在两平行直线y=1,
y=-1之间；
3、正弦函数、余弦函数的图像间隔相同单位重复出现.
提示:
思考：观察上图,
正弦曲线每相隔
个单位重复出现.
诱导公式
其理论依据是什么？
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
y
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
提示:
周期函数的定义：
对于函数
，如果存在一个非零常数T，
使得当
取定义域内的每一个值时，都有
,那么函数
就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.
思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？
提示：周期函数的周期不止一个.例如
…都是正弦函数的周期.事实上，任
何一个常数
都是它的周期.
最小正周期:
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数,
那么这个最小正数就叫做
的最小正周期.
思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明理由.
提示：正弦函数存在最小正周期，是
正弦函数、余弦函数的定义域、值域和周期性：
3、周期性：正弦函数是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是
.
余弦函数也是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是
.
1、定义域：
2、值域：
例1.求下列函数的周期：
【解析】（1）因为
，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为
.
（2）因为
，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
记住正弦、余弦函数的周期
（3）因为
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为
.
求下列函数的周期：
【变式练习】
所以原函数的周期为
.
所以原函数的周期为
.
解：
思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
一般地，函数
(其中
),最小正周期
.
提示:
【方法规律】
例2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数.
【解析】由已知有：f(x＋2)=
-f(x),
所以f(x+4)=
即f(x＋4)=f(x),
所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
f(x),
=-[-f(x)]=
-f(x＋2)
f[(x＋2)+2]=
周期函数、最小正周期.
正（余）弦函数
周期性
定义域
值域
正弦函数、余弦函数的性质（一）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
周期性
奇偶性
单调性
最值
D
把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书.
——麦考莱(共44张PPT)
5.4.3
正切函数的性质与图象
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？
然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象.
通过平移正弦线得到正弦函数在
的图象,再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.这些性质是通过研究其图象得到的.
三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，
因此,
进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.掌握正切函数的性质及其应用；（重点）
3.能用正切函数的图象解最简三角不等式.
（难点）
4.会用正切函数的性质研究正切函数的图象．
1.通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
2.通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
因为
所以y=tanx是周期函数,
最小正周期是π.
微课1
正切函数的性质
提示:
提示:
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
由诱导公式
知
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
提示:
思考4：观察图中的正切线，当
角在
内增加时，正切
函数值发生什么变化？由此反
映出一个什么性质？
T1
x
y
A
T2
O
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在
内是增函数.
提示:
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
内都是增函数
思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
不是
不会
提示:
提示:
思考7：当x大于
且无限接近
时，正切值如何变化？
当x小于
且无限接近
时,
正切值又如何变化？由此分
析，正切函数的值域是什么?
T1
O
x
y
A
T2
O
当
大于
且无限接近
时,正切
线AT向y轴的负方向无限延伸；
当
小于
且无限接近
时正切线
AT向y轴的正方向无限延伸.
在(
，
)内可以取任意实数，
但没有最大值、最小值.
正切函数的值域是R
提示:
正切函数的性质
1.定义域：
2.值域：
3.周期性：
正切函数是周期函数，周期为
5.单调性：
正切函数在开区间
内都是增函数.
4.奇偶性：
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
A
【即时训练】
微课2
正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线
作正切函数
的图象，具体应
如何操作？
x
y
作法:
(1)
等分
(2)
作正切线，平移
(3)
连线
作正切函数的图象：正切曲线
O
正切曲线是由被互相平行的直线
所隔开的无穷多支曲线组成的.
D
【即时训练】
例1.求函数
的定义域、周期和单调区间.
【解析】函数的自变量x应满足
即
所以，函数的定义域是
由于
因此函数的周期为2.
由
解得
因此，函数的单调递增区间是
掌握正切函数的性质是解决此类问题的关键
【变式练习】
例2.比较下列每组数的大小.
【解析】
与
与
(1)
因为
说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y=tan
x的同一单调区间内,再利用y=tan
x的单调性解决.
(2)
因为
，
<
<
【变式练习】
【解析】方法一：利用正切线
例3.解不等式
y
x
T
A
O
由图形可知：
原不等式的解集为
方法二：利用正切曲线
由图形可知：
原不等式的解集为
O
y
x
记住正切函数在一个周期
内的图象
答案:（1）
解不等式（1）
（2）
（2）
【变式练习】
正切函数
图像性质
1.定义域：
2.值域：
3.周期性：
正切函数是周期函数，
周期为
5.单调性：
正切函数在开区间
内都是增函数.
4.奇偶性：
正切函数是奇函数，
图象关于原点对称.
正切函数的
性质与图象
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
整体思想：利用正切函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
正切函数的图象
正切函数的性质
周期性
奇偶性
单调性
定义域、值域、最值
逻辑推理：通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
直观想象：通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
B
C
D
C
不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.
——张衡 (共30张PPT)
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质（一）
正弦曲线、余弦曲线
图象的作法：
y
x
o
1
-1
y=sinx，x?[0,
2?]
y=cosx，x?[0,
2?]
平移法
三角函数线法
五点法
正弦函数图像特征：
-
-
-1
1
-
-1
在函数
的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
注意：函数图像的凹凸性！
-
-
-
-1
1
-
-1
在函数
的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
余弦函数图像特征：
注意：函数图像的凹凸性！
问题：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值；
1.结合函数图象理解函数的定义域、值域、周期
性.
2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期的定义，并会求简单函数的周期.
(重点）
通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
y
x
y
O
1
-1
y=cosx
微课1
正弦函数、余弦函数的周期性
1、正弦函数、余弦函数的图像向左、向右无限伸展；
2、正弦函数、余弦函数的图像夹在两平行直线y=1,
y=-1之间；
3、正弦函数、余弦函数的图像间隔相同单位重复出现.
提示:
思考：观察上图,
正弦曲线每相隔
个单位重复出现.
诱导公式
其理论依据是什么？
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
y
当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
提示:
周期函数的定义：
对于函数
，如果存在一个非零常数T，
使得当
取定义域内的每一个值时，都有
,那么函数
就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.
思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？
提示：周期函数的周期不止一个.例如
…都是正弦函数的周期.事实上，任
何一个常数
都是它的周期.
最小正周期:
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数,
那么这个最小正数就叫做
的最小正周期.
思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明理由.
提示：正弦函数存在最小正周期，是
正弦函数、余弦函数的定义域、值域和周期性：
3、周期性：正弦函数是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是
.
余弦函数也是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是
.
1、定义域：
2、值域：
例1.求下列函数的周期：
【解析】（1）因为
，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为
.
（2）因为
，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
记住正弦、余弦函数的周期
（3）因为
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为
.
求下列函数的周期：
【变式练习】
所以原函数的周期为
.
所以原函数的周期为
.
解：
思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
一般地，函数
(其中
),最小正周期
.
提示:
【方法规律】
例2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数.
【解析】由已知有：f(x＋2)=
-f(x),
所以f(x+4)=
即f(x＋4)=f(x),
所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
f(x),
=-[-f(x)]=
-f(x＋2)
f[(x＋2)+2]=
周期函数、最小正周期.
正（余）弦函数
周期性
定义域
值域
正弦函数、余弦函数的性质（一）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
逻辑推理：通过正、余弦函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
整体思想：利用正、余弦函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
周期性
奇偶性
单调性
最值
D
把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书.
——麦考莱(共44张PPT)
5.4.3
正切函数的性质与图象
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？
然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象.
通过平移正弦线得到正弦函数在
的图象,再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.这些性质是通过研究其图象得到的.
三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，
因此,
进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.掌握正切函数的性质及其应用；（重点）
3.能用正切函数的图象解最简三角不等式.
（难点）
4.会用正切函数的性质研究正切函数的图象．
1.通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
2.通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起
吧！
进
走
课
堂
思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
因为
所以y=tanx是周期函数,
最小正周期是π.
微课1
正切函数的性质
提示:
提示:
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
由诱导公式
知
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
提示:
思考4：观察图中的正切线，当
角在
内增加时，正切
函数值发生什么变化？由此反
映出一个什么性质？
T1
x
y
A
T2
O
函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在
内是增函数.
提示:
思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
内都是增函数
思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
不是
不会
提示:
提示:
思考7：当x大于
且无限接近
时，正切值如何变化？
当x小于
且无限接近
时,
正切值又如何变化？由此分
析，正切函数的值域是什么?
T1
O
x
y
A
T2
O
当
大于
且无限接近
时,正切
线AT向y轴的负方向无限延伸；
当
小于
且无限接近
时正切线
AT向y轴的正方向无限延伸.
在(
，
)内可以取任意实数，
但没有最大值、最小值.
正切函数的值域是R
提示:
正切函数的性质
1.定义域：
2.值域：
3.周期性：
正切函数是周期函数，周期为
5.单调性：
正切函数在开区间
内都是增函数.
4.奇偶性：
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
A
【即时训练】
微课2
正切函数的图象
类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线
作正切函数
的图象，具体应
如何操作？
x
y
作法:
(1)
等分
(2)
作正切线，平移
(3)
连线
作正切函数的图象：正切曲线
O
正切曲线是由被互相平行的直线
所隔开的无穷多支曲线组成的.
D
【即时训练】
例1.求函数
的定义域、周期和单调区间.
【解析】函数的自变量x应满足
即
所以，函数的定义域是
由于
因此函数的周期为2.
由
解得
因此，函数的单调递增区间是
掌握正切函数的性质是解决此类问题的关键
【变式练习】
例2.比较下列每组数的大小.
【解析】
与
与
(1)
因为
说明：比较两个正切值大小,关键是把相应的角转化到y=tan
x的同一单调区间内,再利用y=tan
x的单调性解决.
(2)
因为
，
<
<
【变式练习】
【解析】方法一：利用正切线
例3.解不等式
y
x
T
A
O
由图形可知：
原不等式的解集为
方法二：利用正切曲线
由图形可知：
原不等式的解集为
O
y
x
记住正切函数在一个周期
内的图象
答案:（1）
解不等式（1）
（2）
（2）
【变式练习】
正切函数
图像性质
1.定义域：
2.值域：
3.周期性：
正切函数是周期函数，
周期为
5.单调性：
正切函数在开区间
内都是增函数.
4.奇偶性：
正切函数是奇函数，
图象关于原点对称.
正切函数的
性质与图象
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求函数的单调区间时，注意x的系数的正负
整体思想：利用正切函数的性质解题时，要注意整体代换法的应用
正切函数的图象
正切函数的性质
周期性
奇偶性
单调性
定义域、值域、最值
逻辑推理：通过正切函数性质的运用，培养逻辑推理的核心素养
直观想象：通过正切函数图象的运用，培养直观想象的核心素养
B
C
D
C
不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.
——张衡
