(共33张PPT)
5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,
在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,
∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.
B
D
A
C
60
45°
15°
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(难点）
2.掌握两角差的余弦公式和两角余弦的差，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点）
3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
微课1
两角差的余弦公式的推导
因为
所以
若
为两个任意角,
则
成立吗?
提示:
令
然而
要获得
的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及
的三角余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式.
提示:
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
如图，设角
为锐角，且
法一（三角函数线）
作
轴
B
A
α
β
1
-1
y
x
o
在单位圆中
法二（向量法）
因为
所以
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
法三（几何法）
差角的余弦公式
对于任意角
一句话要诀：“余余正正符号反”
B
【即时练习】
微课2
两角差的余弦公式的应用
例1.
利用两角差的余弦公式求
的值。
解法1：
完成本题后，你会求
的值吗？
把非特殊角变为
特殊角,把未知角变为已知角.
解法2：
C
【变式练习】
例2.已知
是第三象限角，求
的值。
解：
由
得
利用同角的三角函数关系式求值时，要注意角的范围.
又由
是第三象限角，得
所以
【变式练习】
先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.
【方法规律】
【解析】
【解题关键】
【解析】
例3.已知
求
拆角思想：
由
得
由
得
利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与组合.即公式的变形应用.
【变式练习】
已知
且
求
的值
1.两角差的余弦公式：
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,
要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中，
既可以是
单角，也可以是复角，运用时要注意角
的变换，如
，
等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时
要注意正向、逆向和变式形式的选择.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.两角和与差的正弦公式
2.两角和与差的余弦公式
3.两角和与差的正切公式
2.逆用公式
1.常值代换
给值求角时，注意角的范围
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
A
C
【解析】
【解析】
5.已知
为锐角，求
因为
所以
因为
所以
【解析】
6.已知
求
因为
所以
长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎.
——布朗 (共32张PPT)
第2课时
两角和与差的正弦、
余弦、正切公式（一）
相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽时为了生存，把自己脸部用不同的方式勾画出不同形态，以吓唬入侵的野兽.川剧把“变脸”搬上舞台，用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术.
由公式
出发，你能推出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
两角差的余弦公式：
在三角函数中也有这样的表演者.
1.能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦公式.(难点）
2.能够利用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明.（重点、难点）
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
微课1
两角和的余弦公式的推导
提示:
两角和的余弦公式
公式的结构特征:
左边是复角
的余弦,右边是单角
的余弦积与正弦积的差.
【即时练习】
微课2
两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？
提示:
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与差的正弦公式？
提示:
两角和的正弦公式
简记：
公式的结构特征:
左边是复角
的正弦,右边是单角
的
正、余弦积与余、正弦积的和.
3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
提示:
两角差的正弦公式
简记：
异名积，符号同.
【解析】
C
【变式练习】
逆用公式时注意观察是否只有两个角
【解析】
【变式练习】
【解析】
微课3
辅助角公式
【即时练习】
1.公式推导
2.和差角公式
余弦：
同名积
符号反
正弦：
异名积
符号同
3.公式应用
名
称
简记符号
公
式
使用条件
两角和
的余弦
两角差
的余弦
两角和与差的余弦公式
名
称
简记符号
公
式
使用条件
两角和
的正弦
两角差
的正弦
两角和与差的正弦公式
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.两角和与差的正弦公式
2.两角和与差的余弦公式
3.两角和与差的正切公式
2.逆用公式
1.常值代换
给值求角时，注意角的范围
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
C
cosα
【解析】
不知道他自己的人的尊严，他就完全不能尊重别人的尊严。
——席勒(共32张PPT)
第3课时
两角和与差的正弦、
余弦、正切公式（二）
两角和正弦公式：
两角差正弦公式：
两角差余弦公式：
两角和余弦公式：
你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从
出发，推导出用任意角
的正切表示
的公式吗？
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点）
2.能够利用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明.
(重点、难点）
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
微课1
两角和与差的正切公式的推导
当
你能用
表示
吗？
提示:
称为两角和的正切公式.
类比和角的正切公式，如何推导差角的正切公式？
称为两角差的正切公式.
提示:
1.必须在定义域范围内使用上述公式.
2.注意公式的结构，尤其是符号.
两角和与差的正切公式的说明
分解为两个特殊角的和或差
微课2
两角和与差的正切公式的应用
例1
求值：
【解析】
1.公式的直接应用
B
【变式练习】
例2
利用和(差)角公式计算下列各式的值.
2.公式的逆用
【解析】
【变式练习】
3.公式的活用
【解析】
【变式练习】
【解析】
4.公式的变形应用
【解析】
【变式训练】
1.两角和差的正切公式
3.公式应用.
2.和角与差角正切变形公式
名
称
简记符号
公
式
使用条件
两角
和的
正切
两角
差的
正切
4、两角和与差的正切公式
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.两角和与差的正弦公式
2.两角和与差的余弦公式
3.两角和与差的正切公式
2.逆用公式
1.常值代换
给值求角时，注意角的范围
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
D
A
1
3
.
【解析】
才者，德之资也；德者，才之帅也。
——司马光(共30张PPT)
5.5.2
简单的三角恒等变换（一）
学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台.
1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式．
2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换.
(重点、难点）
3.
体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.
数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养
提示：能
思考
微课1
二倍角公式的变形
公式说明:
从左到右降幂扩角，
从右到左升幂缩角.
也称为降幂公式.
升幂
降幂
例1的结果还可以表示为：
并称之为半角公式.符号由
所在象限决定.
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．
提示:
【变式练习】
【方法规律】
1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．
2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：
(1)先化简所求的式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．
微课2
和角公式的变形
这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
提示：一边是积，一边是和。
将以上两式的左右两边分别相加，得
（２）由(1)得：
设
那么
把
的值代入上式中得
三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.
1.
在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，
如何证明（2）？
思考：
提示:
2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？
提示:
【解析】选C.
【变式练习】
1.降幂公式
2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用.
4.换元思想.
3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.
三角恒等变换公式转换
简单的三角
恒等变换（一）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
使用半角公式时注意角的范围
三角恒等变换的方法：变角；变名；变式
降幂公式
半角公式
数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养
B
D
-3
不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。
——贝尔奈(共36张PPT)
5.5.2
简单的三角恒等变换（二）
结合右图体会公式的推导过程
你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗?
1.通过三角恒等变换，把形如
的函数
转化为形如
的函数.(重点）
2.灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的
最值、周期、单调性等问题.(重点、难点)
3.灵活运用三角函数公式解决一些实际问题．
数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养
提示:
D
【即时练习】
例1
求函数
的周期，最大值和最小值.
【解题关键】利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
【解析】
通过三角恒等变换，我们把形如
的函数转化为形如
的函数，从而使问题得到简化.
【方法规律】
B
【变式练习】
微课2
三角变换在化简、证明中的应用.
【解析】
【方法规律】
常见的三角变形技巧有
①
切割化弦；
②
“1”的变用；
③
统一角度，统一函数，
统一形式等等．
C
【变式练习】
例3
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记
，问当角
取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
分析：（1）找出
与
之间的函数关系.
（2）由得出的函数关系，求S的最大值.
O
A
B
P
C
D
Q
已知半径为1的半圆，PQRM是半圆的内接矩形，如图，P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积的值．
P
Q
R
M
O
【解题关键】连接OP,设
用角
表示面积.
【变式练习】
P
Q
R
M
O
差角余弦公式
和（差）角公式
倍角公式
简单三角恒等变换
3、三角恒等变换知识框架图
简单的三角
恒等变换（一）
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
使用半角公式时注意角的范围
三角恒等变换的方法：变角；变名；变式
降幂公式
半角公式
数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养
A
D
B
3
【解析】
不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定。
——德谟克里特(共36张PPT)
第4课时
二倍角的正弦、余弦、
正切公式
思考：
你能用以上公式推导出
的公式吗？
提示：令
，代入上述三式可得.
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍
角正
弦、余弦和正切公式.
2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式，理解推导过程，
掌握其应用．
(重点）
3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点）
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
微课1
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦公式.
简记为
二倍角的余弦公式.
简记为
二倍角的正切公式.
简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
1.角的倍半关系是相对而言的,
是
的二倍,
是
的二倍,
是
的二倍等;
公式说明
2.当
时，
的值不存在，
求
的值可利用诱导公式.
【即时练习】
微课2
二倍角公式的应用
1.公式的直接应用
注意
的范围
【变式练习】
B
还可以把
看作
D
【变式练习】
【解题关键】
2.公式的逆用
【解题关键】
C
【互动探究】
3.公式的活用
【变式练习】
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用
、逆用、灵活应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.两角和与差的正弦公式
2.两角和与差的余弦公式
3.两角和与差的正切公式
2.逆用公式
1.常值代换
给值求角时，注意角的范围
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
B
B
【解题关键】
4.求下列各式的值.
不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁就无法找到真理。
——列宁(共33张PPT)
5.5
三角恒等变换
5.5.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时
两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,
在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,
∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.
B
D
A
C
60
45°
15°
对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(难点）
2.掌握两角差的余弦公式和两角余弦的差，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点）
3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
微课1
两角差的余弦公式的推导
因为
所以
若
为两个任意角,
则
成立吗?
提示:
令
然而
要获得
的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及
的三角余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式.
提示:
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
如图，设角
为锐角，且
法一（三角函数线）
作
轴
B
A
α
β
1
-1
y
x
o
在单位圆中
法二（向量法）
因为
所以
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
法三（几何法）
差角的余弦公式
对于任意角
一句话要诀：“余余正正符号反”
B
【即时练习】
微课2
两角差的余弦公式的应用
例1.
利用两角差的余弦公式求
的值。
解法1：
完成本题后，你会求
的值吗？
把非特殊角变为
特殊角,把未知角变为已知角.
解法2：
C
【变式练习】
例2.已知
是第三象限角，求
的值。
解：
由
得
利用同角的三角函数关系式求值时，要注意角的范围.
又由
是第三象限角，得
所以
【变式练习】
先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.
【方法规律】
【解析】
【解题关键】
【解析】
例3.已知
求
拆角思想：
由
得
由
得
利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与组合.即公式的变形应用.
【变式练习】
已知
且
求
的值
1.两角差的余弦公式：
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,
要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中，
既可以是
单角，也可以是复角，运用时要注意角
的变换，如
，
等.
同时，公式的应用具有灵活性，解题时
要注意正向、逆向和变式形式的选择.
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
1.两角和与差的正弦公式
2.两角和与差的余弦公式
3.两角和与差的正切公式
2.逆用公式
1.常值代换
给值求角时，注意角的范围
2.逻辑推理：通过公式的推导及相互之间的联系，培养逻辑推理的核心素养
1.数学运算：通过公式的运用，培养数学运算的核心素养
A
C
【解析】
【解析】
5.已知
为锐角，求
因为
所以
因为
所以
【解析】
6.已知
求
因为
所以
长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎.
——布朗
