贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：导数及其应用

贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：导数及其应用
I 卷
一、选择题
1．已知，则t的值等于 ( ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
2． 若,则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3． 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数t的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
4．曲线在点处的切线倾斜角为( )
A． B． C． D．
答案：A
5．由直线，曲线及x轴所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
6． 若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（ ）
A . 4+2Δx B .4Δx C． 4 D . 2Δx
【答案】A
7．由直线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
8．若曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为 ( ）
A．（1，－3） B．（1，5） C．（1，0） D．（－1，2）
【答案】C
9．函数在定义域（）内的图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
10．已知，若，则
A．1 B．2 C．3 D．3或-1
【答案】C
11．已知函数在R上可导，且，则与的大小关系为（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不确定
【答案】B
12．函数的导数是 ( ）
A． B．
C． D．
【答案】
II卷
二、填空题
13．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为____________
【答案】1800m3
14．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
【答案】4
15．曲线在点处的切线方程是 。
【答案】
16．已知，若，则
【答案】3
17．函数在处的切线方程是 ；
【答案】
18．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
【答案】－，1∪2,3)
三、解答题
19． 已知函数,函数
⑴当时,求函数的表达式;
⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
答案：⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
20．设函数
(1）当时，求的极值；
(2）当时，求的单调区间；
(3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。
【答案】（1）函数的定义域为
当时，，∴
由得 随变化如下表：
— 0 +
↘ 极小值 ↙
故，，没有极大值.
(2）由题意，
令得，
若，由得；由得
若，①当时，，或，；，
②当时，
③当时，或,;，
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为
(3）当时，
∵，∴ ∴，
由题意，恒成立。
令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴
21．设函数.
(1） 试问函数能否在时取得极值？说明理由；
(2） 若a=-1，当时，函数与的图像有两个公共点，求c的取值范围.
【答案】（1）由题意，
假设在时取得极值，则有
而此时，，函数在R上为增函数，无极值.
这与在x=-1有极值矛盾，所以在x=-1处无极值.
(2）设，则有
设，令.解得或.
列表如下：
X -3 (-3,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) 4
+ 0 - 0 +
F(x) -9 增 减 -9 增
22．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在区间1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．
【答案】 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3.
∵f(x)在1，＋∞)是增函数，
∴f′(x)在1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即
3x2－2ax－3≥0在1，＋∞)上恒成立，
则必有≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0.
(2)依题意，f′(－)＝0，
即＋a－3＝0.
∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，
得x1＝－，x2＝3.
则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f′(x) － 0 ＋
f(x) － 6 ? －18 ? －12
∴f(x)在1,4上的最大值是f(1)＝－6.
(3)函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根．
∴x3－4x2－3x－bx＝0，
∴x＝0是其中一个根，
∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．
∴
∴b＞－7且b≠－3.
∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b>－7且
23．设函数
(Ⅰ）求函数的极值点；
(Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
(Ⅲ）证明：
【答案】（1），
当 上无极值点
当p>0时，令的变化情况如下表：
x (0，)
+ 0 －
↗ 极大值 ↘
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点
(Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使恒成立，只需，
∴
∴p的取值范围为1，+∞
(Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，
∴
∴
∴结论成立
24．已知直线与函数的图象相切于点（1，0），且与函数的图象也相切。
(1）求直线的方程及的值；
(2）若，求函数的最大值.
【答案】（1）的图象在点（1，0）处的切线。
又因为直线的图象相切，
(2）由（1）知
当
于是，上单调递减。
所以，当
25．已知函数有极值.
(Ⅰ）求c的取值范围；
(Ⅱ）若在x=2处取得极值，且当，恒成立，求d的取值范围.
【答案】（Ⅰ）∵∴，
因为有极值，则方程有两个相异实数解，
从而，∴
(Ⅱ）∵在处取得极值，
，
∴.
∴，
∵
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
∴当x<0时，在x=-1处取得最大值，
∵x<0时，恒成立，
∴，即，
∴或，
即d的取值范围是.
26．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx， a , bR．
(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；
(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．
【答案】(Ⅰ)
＝，
由题设知： 解得
(Ⅱ)因为在区间内存在两个极值点 ，
所以，即在内有两个不等的实根．
故
由 (1)+(3)得.
由（4）得，
因，故，从而.
所以．