贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：空间几何体

贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：空间几何体
I 卷
一、选择题
1．在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱SA=，则正三棱 S-ABC外接球的表面积为（ ）
A．12 B．32 C．36 D．48
【答案】C
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
解析：①的三个视图都相同；②的主视图与左视图相同，与俯视图不同；③的三个视图互不相同；④的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。
4． 如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 ( ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧视图的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
6． 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0=A0A1，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A．2:1 B．4:3 C．3:2 D．1:1
【答案】A
7．下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
8．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯 视图是直径为2的圆(如下图），则这个几何体的表面积为（ ）
A．12+ B．7 C． D．
【答案】C
9．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），则这个几何体的表面积为（ ）
A．12+ B．7
C． D．
【答案】C
10．下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是( )个
A．8个 B．7个
C．6个 D．5个
【答案】D
11．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
12． 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
【答案】D
II卷
二、填空题
13．已知某个几何体的三视图如下图（主视图的弧线是半圆），可得这个几何体的体积是 .
【答案】
14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、，则这个长方体的外接球的表面积为 .
【答案】
15． 如图，在正方体中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_________.
【答案】1
16．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为________．
【答案】45°
17．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．
【答案】
18．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .
【答案】24＋12
三、解答题
19．直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB=5，
AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．
(Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
(Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
(Ⅲ）当时，求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，
所以 AC2+ BC2= AB2， 所以 AC⊥BC．
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC．
因为 BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B1C1C．
所以 AC⊥B1C．
(Ⅱ）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，
所以 DE AC1．因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．
(Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．
设D (a, b, 0)（，），
因为 点D在线段AB上，且，即．
所以，，，, ,．
平面BCD的法向量为． 设平面B1 CD的法向量为，
由 ，， 得 ，
所以 ，，.所以 ．
所以二面角的余弦值为．
20．已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
(1）求四棱锥P－ABCD的体积；
(2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;
(3）求四棱锥P－ABCD的侧面积.
【答案】由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ∴
(2) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-
又∵ ∴BD⊥平面PAC　∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
(3) 由（１）知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB, ∴Rｔ△PCD≌Rｔ△PCB
∵AB⊥BC,AB⊥PC,　　∴AB⊥平面PCB　∵PB平面PBC，∴AB⊥PB
同理AD⊥PD，∴四棱锥P－ABCD的侧面积==2+
21．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.
(Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC
(Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
(Ⅲ）求四面体B-CDE的体积.
【答案】（Ⅰ）∵面ABC面ACDE，面ABC面ACDE=AC，CDAC，
∴DC面ABC，
又∵DC面BCD，∴平面BCD平面ABC.
(Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF DC,
又∵EADC，∴EAPF，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP面BDE，∴AF∥面BDE.
(Ⅲ）∵BAAC，面ABC面ACDE=AC，∴BA面ACDE.
∴BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2.
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD，
∴
∴ ∴
22．如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，为的中点
(1）求证：∥平面
(2）求证：平面平面
(3）求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值
【答案】⑴取DE D中点G,建系如图，则A(0,,0)、B(0,-1,0)、C(1,0,0)、
D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0,,2)、G(0,0,2),
设平面DEF的一法向量=(x,y,z),
⑵显然,平面BCED的一法向量为=(0,1,0),=0,∴平面DEF︿平面BCED
⑶由⑴知平面DEF的一法向量=(1,0,-1),平面ABC的一法向量=(0,0,1)，
cos<,>= eq \f(,||||) =-
∴求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为 .
23．如图，在斜三棱柱 中，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。
(Ⅰ）求与底面ABC所成的角；
(Ⅱ）证明EA1∥平面.
【答案】（I）过作平面平面，垂足为．连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角．
因为，所以为的平分线
又因为，所以，且为的中点
因此，由三垂线定理
因为，且，所以，
于是为二面角的平面角，即
由于四边形为平行四边形，得
所以，与底面所成的角度为
(II） 证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF．
在平行四边形中，因为F是的中点，所以
而EP平面，平面，所以平面
24．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD＝90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝2BC，
O是AD的中点．
(1)求证：CD∥平面PBO；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
【答案】(1)∵AD＝2BC，且O是AD中点，
∴OD＝BC，又AD∥BC，
∴OD∥BC，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴CD∥BO，CD 平面PBO，
且BO 平面PBO，故CD∥平面PBO.
(2)∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
∵AP⊥PD，AB∩AP＝A，
∴PD⊥平面PAB，
又∵PD 平面PCD，
故平面PAB⊥平面PCD.
25．已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直,,为的中点,。
(Ⅰ）求证: ；
(Ⅱ）求二面角 的大小。
【答案】（I）连结交于,连结
因为为中点，为中点,
所以,
又因为,
所以;
(II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直,
所以
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图取=1
,,,,
设平面的法向量为 = (x ,y , z ),
设平面的法向量为 = (x ,y , z ),
所以二面角 的大小为。
26．一个多面体的直观图如图所示（其中分别为的中点）
(1）求证：平面
(2）求多面体的体积
【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且，，
取的中点，连，由分别为中点可得，
平面平面，平面。
取中点，在直三棱柱中，平面平面，面面，面，多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥，在中，棱锥的体积。