贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：三角函数

贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：三角函数
I 卷
一、选择题
1．由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2． 若将函数的图像上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位后得到的图像关于点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知点在第三象限, 则角的终边在 ( ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
4．由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
5．为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
【答案】C
6． 在中, ，三边长，，成等差数列，且，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
7．若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
8．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
9．已知中，分别是角的对边，，那么等于
A．
B． C．或 D．
【答案】B
10．函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． B． C．，1 D．，
【答案】C
11．设，函数.的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是( )
A． B． C． D． 3
【答案】C
【解析】周期公式
故答案的年为C
12．给出下列等式
①arcsin＝1　②arcsin(－)＝－　③arcsin(sin)＝　④sin(arcsin)＝
其中正确等式的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
II卷
二、填空题
13．已知，则 .
【答案】
14．已知，则的值等于_______.
【答案】
15．若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：① ②， ③，
④，其中“同形”函数有 .（填序号）
【答案】①③
16．在中，，则 ，AB= .
【答案】，
17．方程2cos(x－)＝1在区间(0，π)内的解是________．
【答案】
18．已知ΔABC中a=x，b=2，B=450，若该三角形有两个解，则x的取值范围是
【答案】（2， 2）
19．关于有以下命题：
①若则；
②图象与图象相同；
③在区间上是减函数；
④图象关于点对称。
其中正确的命题是 。
【答案】②③④
20．在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、，若三角形ABC的面积，则C= ．
【答案】
三、解答题
21．已知tanx＝－1，且cosx＝，求x的取值集合．
【答案】∵tanx＝－1<0，且cosx＝>0，
∴x是第四象限角，即2kπ－∵又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－(k∈Z)，
∴x－2kπ＋π＝arccos(－)(k∈Z)，
即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．
∴x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．
22．在
，三角形的面积为
A．求的大小
B．求的值
【答案】 (I)
又
(II）
由余弦定理可得:
23．已知向量，向量，函数.
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积.
【答案】 (Ⅰ)
.
因为，所以.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：， 时, ，
由正弦函数图象可知,当时取得最大值，
所以,.
由余弦定理，，∴，
∴ ，
从而.
24．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】方法一　(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝
图(1)
＝．
故当t＝时，Smin＝10，
此时v＝＝30．
即小艇以30 海里时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇，则
v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，
故v2＝900－＋．
∵0即－≤0，解得t≥．
又t＝时，v＝30.
故v＝30时，t取得最小值，且最小值为．
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
图(2)
方法二　(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)．
在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30．
即小艇以30 海里时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
图(3)
(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.
又∠OAD＝60°，
∴AD＝DO＝OA＝20，
解得t＝．
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．
证明如下：
如图(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上的任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．
设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，
CD＝10tan θ，OD＝．
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
t＝和t＝，
∴＝．
由此可得，v＝．
又v≤30，故sin(θ＋30°)≥．
从而，30°≤θ＜90°.
由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为．
于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为．
图(4)
方法三　(1)同方法一或方法二．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
(v2－900)t2＋600t－400＝0.
①若0Δ＝360 000＋1 600(v2－900)
＝1 600(v2－675)≥0，
得v≥15．
从而，t＝，v∈15，30)．
当t＝时，
令x＝，则x∈0,15)，
t＝＝≥，
当且仅当x＝0，即v＝15时等号成立．
当t＝时，同理可得综上得，当v∈15，30)时，t>．
②若v＝30，则t＝．
综合①②可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于．
此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
25．函数在一个周期内，当时，取最小值;当时，最大值．
(I）求的解析式；
(II）求在区间上的最值
【答案】（I）∵在一个周期内，当时，取最小值;当时，最大值．
∴，
，
，
由当时，最大值3得
，∵，
∴
．
(II） ∵，
∴
∴当时，取最大值 ;
当时,取最小值．
26．已知关于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.
【答案】设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=，
∴cosα=sinβ
∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=
∴由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=()2
解得m=±
当m=时，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，满足题意，
当m=－时，cosα+cosβ=＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m=
27．已知函数．
　(Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；
　(Ⅱ）若x∈0，时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．
【答案】（1）
的周期为　　　　　　　　　　　　　
由得
的单调递增区间为
(2）令
，
当，即时，
28．已知函数.
(Ⅰ）求函数的最大值，并指出取得最大值时相应的的值；
(Ⅱ）求函数的单调增区间.
【答案】（Ⅰ）
+1+1
(注：此处也可是+1等)
所以的最大值是3
此时，即
(Ⅱ）因为余弦函数的增区间为,
∴
∴
∴的单调增区间为