贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：数系的扩充与复数的引入

贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：数系的扩充与复数的引入
I 卷
一、选择题
1．若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． -2 B． 4 C．—6 D． 6
【答案】C
【解析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以1-2i，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出a的值。
2．已知复数 z 满足，则 ( ）
A． B． C． D． 2
【答案】 A
解析:该题主要考查复数模及复数的运算,实际上只要两边取模即得: .
3．已知复数，则（ ）
A． 2 B． －2 C． 2i D． －2i
【答案】B
4．已知，其中是实数，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知，为虚数单位，且，则的值为 ( ）
A．4 B．4+4 C． D．2
【答案】C
6．复数等于 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
7．如果复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝ ( )
A．1 B．－1 C．　 　　 D．－
【答案】B
8．若复数是纯虚数,则实数的值为 ( )
A．1 B． 2 C．-2 D．-1
【答案】A
9．已知复数z=1+i，则=（ ）
A．-i B．+i C．--i D．-+i
【答案】A
10．已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
11．已知是虚数单位，则复数所对应的点落在 ( ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
12．复数是虚数单位的实部是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
II卷
二、填空题
13．复数的实部与虚部之和为 ．
【答案】-1
14．设m∈R，复数(2m2－3m－2)＋(2m2＋5m＋2)i是纯虚数的条件是________．
【答案】m＝2
15． i是虚数单位，复数＝________.
【答案】2－i
16．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|【答案】(－1,1)
17．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝________.
【答案】－i
18．下列命题中是真命题的有________(填序号)．
①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是{0}；④纯虚数集与实数集的交集为空集．
【答案】①②④
三、解答题
19．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
【答案】(1)∵z为实数，∴m2＋4m＋3＝0，
∴m＝－1或m＝－3.
当m＝－1时，
m2－2m－14＝1＋2－14<0(不合题意，舍去)，
当m＝－3时，m2－2m－14＝1>0，
∴m＝－3时，z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
∴lg(m2－2m－14)＝0且m2＋4m＋3≠0，
即，解得m＝5，
∴m＝5时，z为纯虚数．
20．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·＋(1－2i)z＋(1＋2i)＝3，求复数z在复平面上对应点的轨迹．
【答案】∵z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z·＋(1－2i)z＋(1＋2i)
＝x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)
＝x2＋y2＋x＋yi－2xi＋2y＋x－yi＋2xi＋2y
＝x2＋y2＋2x＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5＝3，
∴(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
∴z对应点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，2为半径的圆．
21．已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，则a的取值范围是多少？
【答案】由题意得z1＝＝2＋3i，
于是|z1－|＝|2＋3i－a－2i|＝，
|z1|＝，所以＜，
化简得a2－4a－8＜0，解得2－2＜a＜2＋2．
22． m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
【答案】∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
∴(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或m＝2时z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0，即m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由，得m＝－．
即m＝－时，z为纯虚数．
23．已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．
【答案】由题意得＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.
因为对应的点位于第一象限，
所以即
解得
所以＜m＜，
所以m的集合为．
24．设复数z满足4z＋2＝3＋i，w＝sinθ－icosθ(θ∈R)，求复数z和|z－w|的取值范围．
【答案】设z＝a＋bi(a，b∈R)代入已知得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i，根据复数相等的充要条件，得即
所以z＝＋i.
|z－w|＝|(＋i)－(sinθ－icosθ)|
＝|(－sinθ)＋(＋cosθ)i|
＝
＝
＝ ．因为－1≤sin(θ－)≤1，所以0≤|z－w|≤2.故所求的复数为z＝＋i，|z－w|的取值范围是0,2．
25．若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．
【答案】将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.
设方程的实数解为x0，代入上式得：
(x－2ax0＋5)＋(x－2x0－3)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
由②得x0＝3，或x0＝－1，
代入①得a＝，或a＝－3.
所以a＝，或a＝－3.
26．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i且z>0，求实数x的值．
【答案】∵z>0，
∴z∈R，
∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.
又z>0即－x>0，
∴当x＝1时，上式成立．
当x＝3时，上式不成立．
∴x＝1.