贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：圆锥曲线与方程

贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：圆锥曲线与方程
I 卷
一、选择题
1．设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且AF轴，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D． 2
【答案】B
2． 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3． 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 ( ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】D
4． 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
6． 椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．抛物线的焦点坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
8． 若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( ）
A． B． C． D．
【答案】C
解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.
9． 点P在双曲线上 ，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】解：设|PF2|,|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,
故选项为D
10． 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
11．若椭圆（m＞n＞0）和双曲线（a＞b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 ( ）
A．m－a B． C．m2－a2 D．
【答案】A
12．双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 ( ）
A．- B．-4 C．4 D．
【答案】A
II卷
二、填空题
13． 椭圆（为参数）上点到直线的最大距离是
【答案】
14． 已知是过抛物线焦点的弦，，则中点的横坐标是 .
【答案】
15．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则a= .
【答案】2
16．已知圆，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 。
【答案】
17． 等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是 。
【答案】
18． 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
【答案】12x —23y—2=0
三、解答题
19．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，其四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，求此双曲线的方程.
【答案】椭圆的焦点为（）和（－）
由椭圆及双曲线的对称性可知，四个交点分别关于x轴和y轴对称，又是正方形的四个顶点，故可设其中一个交点为（m，m）
代入椭圆方程，可得m＝±，于是其中一个交点为（，）
设双曲线方程为，有 ，解得，
可求得双曲线方程为
20． 如图，椭圆C：焦点在轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B．抛物线C1、C：分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P．
⑴求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；
⑵若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q（，0），求的最小值．
【答案】（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，），故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为
由 得
所以椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：
(Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为
设直线方程为
由，整理得
因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以
解得
设M（）、N（），则
因为
所以
因为，所以当时，取得最小值
其最小值等于
21．已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.
(1）求椭圆的标准方程；
(2）求m的取值范围.
(3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.
【答案】（1）依题意可得解得
从而所求椭圆方程为
(2）直线的方程为
由可得
该方程的判别式△=＞0恒成立.
设则
可得
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为
线段PQ的垂直平分线方程为
令，由题意
又，所以0＜＜
(3）点M到直线的距离
于是
由可得代入上式，得
即＜＜.
设则
而＞00＜m＜＜0＜m＜
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值
所以当时，△MPQ的面积S有最大值
22．如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5.
(1）求椭圆的方程；
(2）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.
【答案】（1）由题意，知
设椭圆的左焦点为F1，则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a，同时|P2F|+|P3F|=2a而|P3F|=a
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=5
(2）由题意，F（1，0），设l的方程为
整理，得因为l过椭圆的右焦点，
设，
则
令
由于
23．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.
(1）求椭圆方程；
(2）求的取值范围．
【答案】（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝
故C的方程为：y2＋＝1
(2）当直线斜率不存在时：
当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 (*）
x1＋x2＝， x1x2＝　
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
∴k2＝0，∴或
把k2＝代入（*）得或
∴或
综上m的取值范围为或
24．已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．
(1）求曲线的方程；
(2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，
则．所以动点M的轨迹方程为．
(2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴． ∵，，
∴．
　　　∴ ． 由方程组
得．则，，
代入①，得．
即，解得，或．
　所以，直线的方程是或．
25．椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
(1）求证：；
(2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．
【答案】（1）由题设，得，
由椭圆定义，
所以，．
(2）由点在椭圆上，可设椭圆的方程为，
设，，，：，代入椭圆的方程，整理得
，
则
，
于是有，
解得，故，椭圆的方程为．
26．设、分别是椭圆的左、右焦点．
(1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
(2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）易知 所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 ，
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．
(2）显然直线不满足题设条件，可设直线，将代入，消去，整理得：
∴，
由得：或,
又
∴又
∵，即 ∴
故由①、②得或