分班考试复习资料
集合
基
集合的表示
举法
集合的基本运
符
交集A∩B
并集AUB
补集CUA
b
意义
注意:当集合是用不等式表
数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验
套
知集
C.{x0解析]根据题意,作图可得
知
案
知集合P=
(CRO
案
o=x
故选
【复数】
基础知识
复数的有关概
(1)复数的定义:形
bia,b∈R)的数
复数的实部
数的虚部.i是虚数单位.规定
b=0时,该复数为实数
b≠
该复数
为纯虚数
(2)复数相等:a+bi=c
且b
(3)共轭复数:若z=a+b(a,b∈R)
4)复数的模:记作或a+b,k
复数的几何意义
复平面的
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫做实轴,
轴叫做虚轴
(2)实轴上的点都表示实数:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示:复数z=a+bi(
与复平面内的点Z(a,b)一对应
3.复数
①加法
(a+bi)+(c+)=(a+c)+(E
减
③乘法
(atbi
(ctdi)(ac-bdtadt
bc)i
④除法
配套练习
若复数
数,则实数a的值为(
C.1或
答案
「解析]依题
解
复平
数的共轭复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限
象限
第四象
其共轭复数为-1,对应的
),位于第四象限
(1-2i)(1+2
4.在复
复数
坐标为
答案
【解不等式】
基础知识
次不等式的解
)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或
计算相应的判别式
求出相应的一元二次方程的根
4)利用二次函数的图象
交点确定一元二次不等式的解集
个二次之间的关
(a>0)的图象
元二次方程
有两相异实
两相等实
没有
实数根
xx>x2或
(a>0)的解集
rCI
(a>0)的解集
注意:二次不等式解集
界值”是相应二次方程的根
简单分式不等式的解
配套练习
不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为()
案
0,所以不等式的解集
2.不等式≥0的解集
答案
解析]原不等式化为
所
等式
解集为
答案
x>0
原不等式等价于x2>1,解得
不等式等价于x2<1,解
得
所以不等式
解集
4.不等式a+bx+2>0的解集是(-2,3),则a+b的值是()
案
解析]由题意知
是
两根
东烟台期中)若集
MN}等于()
案
,0],故选分班考试复习资料
导数
基
导数
意义
函数f(x)在x=x处的导数就是曲线y=fx)在点P(xo,f
切线的斜率,即曲线y
f(x)在点P(xo,f(xo)处的切线的斜率k=f(xo),切线方程为y-1=f(xo)(x
2.基本初等函数的导数
为常数)
(6)(
)
导数的运算法贝
DU(x)
g(x)]'=
f(rEte(xl
(2)ff(r)g(x)]=
f(r)g()tf()g'(x).
C
f(r)
f(x)(C为常数)
)g(X)
导数
(一)函数的单调性
基本结论
)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f(x)>0,则fx)为增函
(x)<0,则fx)为减
若函数单调递增,则f(x)
函数f(x)单调递减,则f(x)
2.求单调区间的基本方法
利用导数求函数单调区间”的一般程序可参看下面的流程图:
求出
点
求函数f(x)的定义域
(x)的
求导数f(
表
解析式直接判断
函数f(x)的单调区间为
函数f(x)的单调区间、极
域,无极
例1.求函数f(x)=(ax-1)ex的单调区间
解:函数f(x)的定义域是
【尽量将导函数化成积的形式】
【因为e
所以导函数
致,如何确定
的符
明
表达式的符号是不确
为了简便起见,我们往往先研究方程ax+a
令
(x)<0恒成立,f(x)的单调减区间
【优先考虑方程无根的情况
函数在定义域或者各个区间上都是单调的
a≠0
x
(此根把定义域分成了两部分(-∞-1)和
在这两个不同的区间上
a-1的符号如何呢?作图!!!通过草图来确定符号)
时,(在草稿纸上作出ax+a-1的草图,为单调增的一次函数,零点即刚
才计算的方程f(x)=0的根
当X变化时,f(x),f'(x)变化的情况如下:【要学会列
所以f(x)的单调减区间是
在草稿纸上作出ax+a-1的草图,为单调减的一次函数,零点即刚
才计算的方程f(x)=0的根
变化时,f(x),f'(x)变化的情况如
f
f(r
所以f(x)的单调增区间是(
切记:列表时如何快速判断导函数值得
养成画导函数中需要判断符号的那个式子对应
的草图的习惯。而不是一定要作导函数的图象
单
的难点在于如何对
除了作图以外,就要看你的运算功底
你运算遇到障碍
就分类
地方
(1)解方程f(x)
能明确该方
次方程还是二次方程
)解方程f(x)=0时,方程一定有根吗?比如ax=1
能直接除
(3)解方程f(x)
根在定义域
4)解方程
程有两
不
讨论两根相等的情况
提醒:求单调区间时千万别忘了求定义域,放在第一步
需要灵活处理的几个地方
情形1:对导函数应该化简到什么程度,再去解方程f(X)=0呢?
前
提到尽量将导函数化成积的形式,一般地,遇到分式形式要通分(通分分班考试复习资料3
直线与圆椎曲线的位置关
基础知
线
从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有
共点及
异的公共
)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入
线的方程消元后所得一元二次
方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax
C=0,圆锥曲线方程f(x
Ax+By+C
消去y后得ax2+bx+c
当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛
线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合
0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点
时,直线和圆锥曲线相切
时,直线和圆锥曲线没有公共
所
线与圆锥曲线只有
线不一定相切。如下图所
当直线与双曲线的渐近线平
共点,此时为相交的位置关
线与抛物线的对称轴平
关系是相交
在解决直线与圆锥曲线
关系的相关问题时,总需要设出直线方程
如果题目条件说,过定点(xy)的直线l交椭圆
设直线l方程为
x-x0)。注意两种情况,别忘了讨论斜率不存在的情况
明
还有一种点斜式方程,X-X0=m(
表示过定点(X
斜率不为
的直线,如果掌握不好,就不要用,虽然在解某些题目时运算会简便
如果题目条件说,已知直线l与椭圆C交于
设直线l方程
也是两种情况,别忘了讨论斜率不存在的情况
线与圆锥曲线相交时的弦长
设交点A(x1y),B(x2y2),考虑一般情况,假设直线AB有斜率
只要A,B两点在斜率为k的直线上,就会有上面的距离公式,与圆锥曲线无关
但
A,B是直线与圆锥曲线的两个交点时,A、B两点的距离可以继续写下去,联
线与圆锥曲线方程
那么得到的是一个关于
因为相
首先有
借助韦达定理可得
1+k2|x1
)2
(1
这就是弦长公式,理解公式的推导过程并记住最后的表达式
注意公式中各个字母的含义,k为直线的斜率,a,△为联立消y之后的关于x的
次
方程的二次项系数和判别式
若联立消元消的是x,那么得到的是一个关于y的一元二次方程,比如ay2+by+c=0,请同学
操作一遍,消x得到关于y的一元二次方程的,推导弦长公式为
(注意此时a,△与前面公式中的不同)
线相交,联立方程组消元之后
要写△>0,这
次方
两不相等实根的前提条
4
标公式
点P(X0,y)是线段A
其中A(Xy),B(x,y2)
解题策略
锥曲线的位置关系问题涉及到的题型非常丰富,比如,构造函数解决值域
题,证明
值问题,探索性问题等等
展开
不管是哪
题型,都离不开解析几何的基本思想和方法,也就是解析法,具体来说,就是用坐标表
用方程表示曲线。在解题中,往往离不开参数
与圆锥曲线的位置关系的综
题里,需要设几个参数,需要设什么参数
们必须要思考的问题。一般来说
参数为直线的斜率或者是
设了参数之后,后面所有涉及的几何对象,无论是点还
是曲线,就要想办法把这些几何对象用前面设的参数解析化
解题步骤如下
第一步:根据题目所给的图形或自己作出的图形,结合已知条件,分析图形中的几何
对象间的依赖关系,关注动与定的关系,构建图形的生成路径,明确运动变化的源头
第二步:逐字将题目中的几何条件代数化,即点表示为坐标,曲线表示为方程
第三步:将所求的几何问题代数化,即明
解决的是什么样的几何
并
要弄清楚这个几何问题
代数化形式是什么,解决这个几何问题需要
些代数条
如何与前
得到的结论联系起来
届海淀区
0)的直线与
椭圆G交
两点A,B.若点B关于X轴的对称点为B
线段AB'长度的
分析
第一步:作出图形,见右图1。图形中的几何对象
有:定椭
定
动
B,B',动直线
可以看
线|的运动变化引起了其
和线段的变化,所以运动变化的源头是直线|,参
1
数为直线|的斜率分班考试复习资料4
空间位置关系及角
基础知识和方法
1证明线线平行的常用方法
1)线面平行的性质定理(解答题中首选方法):其
两个平
线面平行→线线平行
(注意,三个条件缺一不可)
面面平行的性质定理:(这两条直线分别是两个平面的交线)
平行→线线平行
平面几
法
证明线面平行的常用方法
(1)线面平行的判定定理(解答题中首选方法):想办法在面内找到一条直线
线平
线线平行→线
行的性质
(1)不好处理的时候,选择这个方法):想办法过
线找
平
知平面平
行→线面平行
证明面面平行的常用方法
(1)
平行的判定定理推论(解答题中首选方法):想办法在一个平面内找到两条相
交直线分别与
内的两条直线平行
线线平行
平
(注意是7个条件)
(2)面面平行的判定定理(偶尔用):想办法过已知直线找到一个平面与已知平面平
平
月线线垂直的常用方法
垂直的定义(解答题中首选方法
说要先去证明线
条直线
条直线所在的
线
线线
证明线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理(解答题中首选方法):想办法在面内找到两条相交直线都与已知
线
线线垂直→线面垂
(注意,别忘了相交的条件
性质定理:想办法过
线找到一个平面与已知平
这条直线
好与两个平面的交线垂
(注意是4个条件)
证明面面垂直的常用方法
的判定定理:想办法在一个平面内找到一条直线是
平面的垂线
线
垂
(注意只有2个条件)
结
过一点有且只有
面与已知直线垂直
结论2
点有且只有一条直线与已知平面垂
明平行的方
线线平行:只需证明两直线的方向向量是共线向量
(2)线
直线的方
能
的两个基向量表
线的方向向量与平面的法向量垂直我们
方法,但是务必要注
要证明AB∥a时,不论是几何法还是向量法,都必须强调A
千万别忘了
写。否则1分又没
(3)面面平
①证明两平面的法向量是共线向量
转化为线
明垂直的方
)线线
明两直线的方
它们的数量积为
(2)线
明直线的方
与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表
(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直
大题时需注意的几个问题
)整体读题(包括几个问题)之后,判断在第几问需要建立空间直角坐标系?求角的题
定要建系的,关键是第
第二问建系解决会不会更简单呢
(2)建立空间直角坐标系需注意的几个地方
题目中有两两垂
条线吗?如果有,请先写
线两两垂
棱锥
E,F分别是棱
DEF所成角
应该这样写建系过程
因为
C,∠BAC
所以AB,AC
线两两垂
b.说明三线两
的答题步骤:仍然以上题为例,如图,以A为原点,建立空间直
角坐标系A-xyz
果没有两两垂直的三条线,必须要证明
实,在水平面内
容易找到或作出两条互相垂直的
关键
建系时不要直接说,作z轴垂直于
之类的话,而是要指出在哪个面内作出的辅助线分班考试复习资料5
概率统
基础知识
频率:在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件
出现的次数n为事件A出现的频数,称f(A)=nMn为事
现的频率
概率的统计定义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率
(A)稳定在某个常数上,把这个常数记做P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率
3.频率与概率的区别和联系
(1)频率本身是随机的,在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率可能会
同
(2)概率是一个确定的数,与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量
3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率。在实际问题中若
事件的概率未知常用频率作为它的估计值
4.互斥事件:在一次试验中不可能同时发生的两个事件叫互斥事件
互斥事件A、B不能同时发生,但可能同时不发生
对立事件:在一次试验中,不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件
对立事件必有一个发生一个不发生,A的对立事件记为
6.概率的加法公式
(1)如果事件A、B互斥,那么P
3)一般加法公式:对任意事件A、B,有P(A+B)=P(4)+P(B)P(AB)
古典概型
(1)随机试验的样本空间包含的样本点个数是有限的
(2)每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等
8.古典概型的概率
如果一次试验的等可能基本事件共有n个,那么每一个基本事件的概率都
如果某个事件A包含了其中m个基本事件,那么事件A的概率
9.相互独立事件
件B(或A)的发生的概率没有影响,这样
事件叫做
相互独立事件
相互独立,那么P(AB
)P(B)
事件A与B相互独立,那么
与
B也都是相互独立的
0.独立重复试验
独立重复试验
样的条
重复地、各次之
进行的一种试验,是同一种试验
在同样的条
次次的重复
各次之间没有任何联
般地,在n次独立重复试验中,如果事件A在每次试验中发生的概率均为p,那么在
次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为
P(k)
01
特点试验总次数是有限的;每次试验之间是相互独立的;每次试验中事件A
概率是一
确定的常数;n次试
发生了k次,但对在哪k次发生没有要求
随机变量
在试验中,试验可能出现
用一个变量X来表示,并且X是随着试验结果的不同
变化的,这样的变
变量。如果随机变量Ⅹ的所有可能的取值都能一一列
来,则称X为
随机变
计算均值与方差的基本方法
)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式
)已知随机变量x的均值、方差,求X的线性函数F=aH+b的均值、方差和标准差
用均值及方差的性质求
)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分
分布、超几何分布等),则可直
接利用它们的
方差公式
但是,必须在用公式之前指明随机变量服从的是什么分布
模型
配套练习
年北京理科卷
开放以
支付方式发生了巨大转变.近年来,移动
成为主要支付方
之
解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机
了100人,发现样本中AB两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用
生的支付金额分布情况如分班考试复习资料6
对于数对序
b
+matt(P
数
数
数对序
1),求T1(P),T2(P)的
数,对于由两个数对(ab),(c,d)组成的数对
和P:(
试分别对
d两种情况比较
所有数对序
对序列P使
并
分析】题
最符
的求解理解符
将所给数对序列P
(41)与已知对照,可知a
按照T1(P)的定义:T(P)=a
得T1(
按照T(P)
第
依照定
知要写出
需要先写
(P)
ax
a
(P)
为a
数中最小的数
d,所以
为
以T2(P
所以无论
还
2(P)≤T2(P)都成
第二问可知,对于P:(a,b)
若a为a
四个数
个数中最小的数
以猜想,要
最小,应该先找其中最小的数,在第三问所给的数对序列
的
数对(5,2)应该安排在最后,其次最小的数是4,数对(4,6)应该安排在第
剩下的数
的是8,数对(118)应该安排在倒数第
还剩下两个数
(11).16,11),最小的数为
无所谓顺序
)(111.(16,11,、(118),(5,2)的T5(P)值最
或者为数对序列P:(4,6),(16,11),(111).(18),(5,2)的
3(P)=42,T4(P
2015年北京理科20
集
若a1=6,写出集合M的所有元素
若集合M存
素是3的倍数,证
的所有元素都是3的倍数
)求集合M的元素个数的最大
分析】注意题目给出的数列{an}与集
集合的元素是无序的
第
题目条
的数列{
数列{an}为:6,1
所以集合M的所有元素为
第二问:通过递推关系式可知,只要a是3的倍数,无论a1=2a还是a
a都是3的倍数,以后各项也都是3的倍数。因此,关键是要证明a前面的k-1个项也
都是3的倍数
如果k=1
已经成
如果k≠1
或
标答如下
因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a是
归纳证明对任意
是3的倍数
果k=1
所有元素都是3的倍数
果k>1,因为ak=2ak1或ak=2a
2ak1是3的倍数,于是a1是3的倍数类
都是3的倍数.从而对任意n≥
是3的倍数,因此M的所有元素都
的倍数
集
素是3的倍数
所有元素都是3的倍数
第
出几个数列,看能否发现什
数列{a
以集合M的元素个数
必考虑
数列
为
所以集合M的元素个数为4
4不必考虑
数列{an}为:5,10,20,4
28,204
集合M的元素个数
6不必考虑
a1
数
为
所以集合M的元素个数为
