专题05 拓展探究步步为营-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破05：“拓展探究”步步为营
1．将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，21教育网
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【分析】
（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
（2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】
（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴为等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
2．在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．21·cn·jy·com
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．www.21-cn-jy.com
【答案】（1）1，（2）45°（3），
【分析】
（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．2·1·c·n·j·y
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
3．如图①，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．21世纪教育网版权所有
（1）观察猜想：图①中，线段与的数量关系是_____________，用含的代数式表示的度数是________________________；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图②的位置，连接，，，当时，判断的形状，并说明理由；21·世纪*教育网
（3）拓展延伸：把绕点在平面内任意旋转，若，，，请直接写出线段的最大值和最小值．
【答案】（1）MP= NP，180°－；（2）是等边三角形，证明见解析；（3）的最大值为，最小值为21*cnjy*com
【分析】
（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP=BD，MPBD以及NP=CE，NPCE，因此MP= NP，将利用平行线的性质转化为与的和求解即可．
（2）有（1）同理可证MP= NP，MPBD，NPCE，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将转化为，，，这四个角的和，求出的度数，判断的形状即可．21cnjy.com
（3）由题意不难得出M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，分别找出MN最大与最小时M的位置，分别求出最大最小值即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）AB=AC，AD=DE，
BD=EC，
M、P分别是DE、BE的中点，
MP=BD，MPBD，
，
同理可证：NP=CE，NPCE，
MP= NP，
，
=+=+=180°－．
（2）由旋转可得：，AD=AE，
，
在与中，
，
≌，
CE=BD，
由（1）同理可证MP=BD，MPBD，NP=CE，NPCE，
MP= NP，
是等腰三角形，
==+，
=+=+，
=+=+++=180°－120°=60°，
是等边三角形．
（3）等腰直角中，AD=3，
DE=3，
M是DE的中点，
AM=，
M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，
如图，连接NA并延长分别交⊙A于点M1、M2，
等腰直角中，AB=7，
BC=7，
N是BC的中点，
AN=，ANBC，
当点M旋转至M1位置时，最大，=+=；
当点M旋转至M2位置时，最小，=－=．
4．如图，为等边三角形，点为线段的中点，连接，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点作的平行线交于点，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当时，请直接写出点到直线的距离．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【详解】
解：（1）
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
（2）
证明：
为等边三角形
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∴，
∵，为的中点，
∴，∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴
（3）过O作NEBC于E
∵，点为线段的中点，
∴
在Rt中，，
∴
∴MN=3，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴
∵△MNC的面积=点到直线的距离
∴点到直线的距离
∴点到直线的距离=
5．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．www-2-1-cnjy-com
（1）①如图1，若∠B_??????ADCé??_是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系　 　；2-1-c-n-j-y
②如图2，若∠B、∠D_é???????????è§????_但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【出处：21教育名师】
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．【版权所有：21教育】
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝．
【分析】
（1）①根据旋转_?????§è?¨??????A_E＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；21教育名师原创作品
②根据旋转的性质作辅_???????????????A_E＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转_???è§?????????????_等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
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