专题06 三角函数满分计划-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破06：“三角函数”满分计划
1．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为（伸出部分不计），在同一直线上．量得，灯杆长为，灯管长为．求点到桌面的距离．（结果精确到，参考数据：）21教育网
【答案】45.4
【分析】
过点D作DF_???AB???è?????_D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，进而得出∠EDF的值，利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．21cnjy.com
【详解】
解：如图所示：过点_D???DF???A_B，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，
由题意可得，四边形DNMF是矩形，
则∠NDF=90°，
∵∠A=60°，∠AND=90°，
∴∠ADN=30°，
∴∠EDF=135°-90°-30°=15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°，www.21-cn-jy.com
又∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，
∴∠ABC=30°，则AC=AB=8cm，
∵灯杆CD长为40cm，
∴AD=48cm，
∴DN=AD?cos30°≈41.52cm，
则FM=41.52cm，
∵灯管DE长为15cm，
∴sin15°==0.26，
解得：EF=3.9，
故台灯的高为：3.9+41.52≈45.4（cm）．21·世纪*教育网
2．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌.小明在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为.已知山坡的坡度，米，米，为教学大楼的底部，求这块宣传牌的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）2-1-c-n-j-y
【答案】这块宣传牌的高度约为2.7米.
【详解】
过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=5，AF=5．
∴BG=AF+AE=5+15．
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE-DE=5+15+5-15=20-10≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．
3．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长．（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）2·1·c·n·j·y
【答案】9.2米．
【详解】
解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i＝＝，
∵BE＝8，AE＝6，DG＝1.5，BG＝1，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，
AH＝AE+EH＝6+1＝7．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝，
∴CH＝9.5．
又∵CH＝CA+7，
即9.5＝CA+7，
∴CA≈9.15≈9.2（米）．
答：CA的长约是9.2米．
4．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船观测到，同时，巡逻船观测到，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船与落水人的距离？（参考数据：，，，）【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】巡逻船与落水人的距离为39海里．
【分析】
过点作，垂足为．设海里，在中，可得AC=，在中，可得，再根据，可解得x的值，最后根据可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点作，垂足为．
设海里，在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，解得，
∵，
∴（海里）．
∴巡逻船与落水人的距离为39海里．
5．在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，）21教育名师原创作品
【答案】宣传牌AB的高度为2米
【分析】
过点C作于G，设AB为x，根据可得，然后在中解直角三角形即可.
【详解】
解：过点C作于G，则，
∵，
∴，
设AB为x，
∵，
∴，
∴CG=4+18+x=22+x，
在中，，
则，即
解得：，
答：宣传牌AB的高度为2米．
6．某校在苏州园林研学时，校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为,朝着这棵树的方向走到台阶下的点处,测得树顶端的仰角为.已知点的高度为米,台阶的坡度为 (即),且三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树的高度(侧倾器的高度忽略不计). 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】树高为9米
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥DE_???F????????????_边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．21*cnjy*com
【详解】
如图，过点作于，则四边形为矩形，
米，设，
在中,，
在中，
在中
，解得(米).
答：树高为9米.
7．某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60?，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．【版权所有：21教育】
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4，≈1.7）
【答案】（1）1：2.4；（2）34.4米．
【解析】
分析：（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i；21*cnjy*com
（2）在Rt△BCF中，BF=，在Rt△CEF中，EF=,据BF﹣EF=8得出方程CF﹣CF=8，解方程求出CF，进而求得．
本题解析：
（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴AB的坡度i==1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF=，
在Rt△CEF中，EF=,
∵BF﹣EF=BE=8米，
∴CF﹣CF=8，
解得：CF≈29.35．
∴DC=CF+DF≈29.35+5≈34.4米．
8．如图，小平为了测量学校教学楼的高度，她先在A处利用测角仪测得楼顶C的仰角为30°，再向楼的方向直行50米到达B处，又测得楼顶C的仰角为60度．已知测角仪的高度是1.2米，请你帮助小平计算出学校教学楼的高度CO．（）21世纪教育网版权所有
【答案】学校教学楼的高度CO是43.7米．
【解析】
【分析】
首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用EF=EM-MF=50的关系，进而可解即可求出答案．21·cn·jy·com
【详解】
设CM=x米
∵∠CEM=30°，
∴tan30°=，
∴EM=x．
∵∠CFM=60°，
∴tan60°=，
∴MF=，
∴x﹣=50．
解得x=25≈42.5，
∴CO=42.5+1.2=43.7．
答：学校教学楼的高度CO是43.7米．
9．如图，一艘渔船位于灯塔A的南偏西75°方向的B处，距离A处30海里，渔船沿北偏东30°方向追寻鱼群，航行一段时间后，到达位于A处北偏西20°方向的C处，渔船出现了故障立即向正在灯塔A处的巡逻船发出求救信号．巡逻船收到信号后以40海里每小时的速度前往救助，请问巡逻船多少分钟能够到达C处？（参考数据：≈1.4，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，最后结果精确到1分钟）．www-2-1-cnjy-com
【答案】巡逻船大约41分钟能够到达处.
【分析】
过作,由在中,海里,可计算出，再根据在中， 计算出AC，由题中可知巡逻船的速度，即可计算出时间.【出处：21教育名师】
【详解】
解：过作，如下图所示：
由图知：
在中
海里
∴(海里)
∵
在中
∴(海里)
(小时)
0.68小时41分钟
∴巡逻船大约41分钟能够到达处
10．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动，如图，在一个坡度(坡比)的山坡上发现一棵古树，测得古树低端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离米的点处，测得古树顶端的仰角(古树与山坡的剖面、点在同一平面内，古树与直线垂直)，求古树的高度约为多少米？ (结果保留一位小数，参考数据)
【答案】23.3米
【详解】
解：延长交直线于点，则 ，
∴设CF＝k，由i＝1:2.4，则AF＝2.4k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
∴，
解得：k＝10，
∴CF＝10，AF＝24，
∴EF＝AF＋AE＝30．
在Rt△DEF中，tanE＝
∴
故古树的高度约为米．
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