专题08 个性函数图像满分计划-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破08：“个性函数图像”满分计划
1．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．2·1·c·n·j·y
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：【来源：21·世纪·教育·网】
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．21·世纪*教育网
【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【分析】
（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；21*cnjy*com
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质.下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是__________；
（2）下表是与的几组对应值：
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点.
①观察图中各点的位置发现：点和，和，和，和均关于某点中心对称，则该点的坐标为__________；【出处：21教育名师】
②小文分析函数表达式发现：当时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线左侧的最高点的坐标为__________；【版权所有：21教育】
（3）小文补充了该函数图象上两个点，.
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质：__________.
【答案】（1）x≠1；（2）①（1，1）；②（0，0）；（3）①作图见解析；②当x＜0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）.21教育名师原创作品
【解析】
【分析】
（1）分式的分母不等于零；
（2）①根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得，
②根据函数的性质求得即可；
（3）①根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
②可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
【详解】
解：（1）依题意得：2x-2≠0，
解得x≠1，
故答案是：x≠1；
（2）①点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，B1（0，0），A1（2，2），
∴中心点点坐标为（1，1）；
②∵当x＜1时，该函数的最大值为0，
∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；
故答案为（1，1）；（0，0）；
（3）①
②该函数的性质：
（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大；
当0≤x＜1时，y随x的增大而减小；
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；
当x≥2时，y随x的增大而增大．
（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．
（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成．
故答案为当x＜0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
3．如图1，在四边形中，对角线平分．为了研究图中线段之间的数量关系，设．
（1）由题意可得，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；21世纪教育网版权所有
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：__________________________；
②估计的最小值为__________．（结果精确到0.1）
【答案】（1），．（2）图见解析（3）①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． ②4.8．
【分析】
（1）通过证明△ABC∽△ACD，得到，再把相关数据代入求解即可；
（2）用平滑的曲线将平面直角坐标系上的点连接起来即可；
（3）观察图象，写出其性质即可；
（4）观察图象，找出y的最小值对应的x，即可求出AB+AD的最小值.
【详解】
（1）∵平分，
∴
又∵，
∴△ABC∽△ACD
∴,
∵
∴
∴
∴
故答案为：，．
（2）如图所示：
（3）①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
故答案为：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
②AB+AD=x+
观察图象可得，y有最小值时，x约为0.7，
故AB+AD的最小值约为：x+=0.7+
故答案为：4.8．
4．有这样一个问题，探究函数y＝x2﹣2的图象与性质，小张根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣2的图象与性质进行了研究，下面是小张的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣2的自变量取值范围是　 ．
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y … n 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 m
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，算出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据算出的点，画出该函数的图象；www.21-cn-jy.com
（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）；www-2-1-cnjy-com
（5）根据图象回答：方程x2﹣2＝﹣有　 个实数解．
【答案】（1）自变量取值范围是任意实数；（2）m的值为8；（3）如图见解析；（4）当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．（5）方程x2﹣2＝﹣有3个实数解．2-1-c-n-j-y
【分析】
（1）根据二次根式的意义和函数关系式即可求解；
（2）根据函数关系式将x的值代入即可求解；
（3）根据表格数据，描点，连线，即可画出图象；
（4）观察函数图像，利用增减性写出一条性质；
（5）根据图象将y=x2-2的图象向下平移0.5个单位长度与原函数图象有三个交点即可求解．
【详解】
（1）根据函数解析式可知：无论x为何值，均有意义，
∴自变量取值范围是任意实数．
故答案为任意实数．
（2）当x＝4时，y＝．
答：m的值为8．
（3）如图：
（4）根据函数图象可知：
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
（5）根据图象可知：
直线y＝﹣，与函数图象有三个交点，即可得：
方程x2﹣2＝﹣有3个实数解．
5．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小菲根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小菲的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是___________________．
（2）下表是与的几组对应值．
…






1 2 3 …
…






2

…
表中的值为____________________________．
（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，写出：
①时，对应的函数值约为__________________(结果保留一位小数)；
②该函数的一条性质：________________________________________________________．
【答案】（1）；（2）；（3）图像见详解；（4）①1.9；②该函数的一条性质：该函数没有最大值也没有最小值（答案不唯一）；21cnjy.com
解：（1）函数的自变量的取值范围是；
（2）根据图表可知当时的函数值为m，把代入，
得：，
∴；
（3）函数图像如下图示：
；
（4）①由（3）中的函数图像可知，当时，对应的函数值约为1.9；
②该函数的一条性质：该函数没有最大值也没有最小值；
6．小明根据学习函数的经验，对函数y＝+1的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：21教育网
（1）函数y＝+1的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　；
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0

2
3
…
y …
m
0 ﹣1 n 2


…
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：　 　
②当函数值+1＞时，x的取值范围是：　 　
③方程+1＝x的解为：　 　
【答案】（1）x≠1；（2），3；（3）见解析；（4）①函数图象经过原点且关于点（1，1）对称，②1＜x＜3，③x＝0或x＝221·cn·jy·com
【详解】
解：（1）由分式的分母不为0得：x﹣1≠0，
∴x≠1；
故答案为：x≠1．
（2）当x＝﹣1时，y＝+1＝，
当x＝时，y＝+1＝3，
∴m＝，n＝3，
故答案为：，3．
（3）如图：
（4）①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称，
故答案为：函数图象经过原点且关于点（1，1）对称．
②观察函数图象，可知：当函数值+1＞时，x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
③观察函数图象可知：方程+1＝x的解为x＝0或x＝2，
故答案为：x＝0或x＝2．
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