专题10 二次函数压轴全面辐射-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破10：“二次函数压轴”全面辐射
1．如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.
【分析】
（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．2·1·c·n·j·y
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，
解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
2．如图，抛物线过x轴上两点A（9，0），C（﹣3，0），且与y轴交于点B（0，﹣12）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①不存在这样的点M，理由见解析；②，四边形CBNA面积的最大值为．
【分析】
（1）先根据点设抛物线的顶点式，再将点代入求解即可得；
（2）①先求出直线AB的解析式，从而可设点M、N的坐标分别为，，从而可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用一元二次方程的根的判别式即可得出答案；www.21-cn-jy.com
②先根据点的坐标分别求出的长，再根据三角形面积公式可求出的面积，从而可得出四边形CBNA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
（1）因为抛物线过x轴上两点
所以设抛物线解析式为
将点代入得：
解得
则抛物线解析式为
即；
（2）如图，设直线AB的解析式为
将点代入得：，解得
则直线AB的解析式为
由题意，可设点M的坐标为，点N的坐标为
则
①若四边形OMNB为平行四边形，则
即
整理得：
此方程的根的判别式，方程无实数根
则不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形；
②
点B到MN的距离等于，点A到MN的距离等于
因为M为线段AB上一个动点
所以
由二次函数的性质可知，当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，取得最大值，最大值为
此时，
故点M的坐标为．
3．如图，已知抛物线，与轴交于点，与轴交于点.点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作直线轴，垂足为，交直线于点，连接，．21cnjy.com
（1）求这条抛物线表达式及其顶点坐标；
（2）若，求证：四边形为矩形；
（3）求的面积最大时点的坐标；
（4）在抛物线对称轴上是否存在一点，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1）抛物线解析式为：，顶点坐标为；（2）证明见解析；（3）；（4）存在点，的值最大值为21教育名师原创作品
【分析】
（1）把点A、B坐标代入求解即可，再由配方法求顶点；
（2）由已知可得，由得到，再根据证明即可；
（3）有待定系数法求得直线解析式，设出点，则点，用x表示的面积，由函数性质求面积最大值即可；21*cnjy*com
（4）取点B关于抛物线对称轴的对称点，再通过三角形三边关系讨论取最大值的情况，从而得到最大值．
【详解】
解：（1）∵抛物线，与轴交于点，与轴交于点
∴
∴
∴抛物线解析式为：，
∵
∴顶点坐标为
（2）证明：∵，．
∴又∴
∵轴，轴∴
∴
∵ ∴
∴，又
∴四边形为矩形
（3）∵点，点，
设直线解析式为： 并解得：
设点，则点，
，
则
∵，故当时，有最大值为，
此时
（4）存在点，使的值最大
点关于抛物线对称轴对称点，作直线与对称轴的交点就是要找的点.
∵在对称轴上，所以，则，
当点、、三点不共线时，，
当点、、三点共线时，=，
所以当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，
在中，，，
由勾股定理得
∴最大值为
4．如图，二次函数的图象经过点，，且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：（其中O是原点）；
（3）若P是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
【答案】(1)；(2)存在,与
【解析】
【分析】
【详解】
（1）解：∵点 、在二次函数图象上，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）如图，过点B作 轴于点D，由（1）得 ，
则在中， ，
又在中， ；
∵，
∴；

（3）存在，理由如下：
由点与 可得直线的解析式为 ，
设 ，
则 ，
∴ ， ．
要使，
∴ ．
当 时，
解得， （舍去），
∴ ．
当 时，
解得， （舍去），
∴ ．
综上所述，存在满足条件的点P，它们是 与 ．
5．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点，则平面内存在直线l，使点M，B，到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线的解析式．（k，b可用含m的式子表示）21·cn·jy·com
【答案】（1）（2）①或，②直线l的解析式为,或.
【分析】
（1）利用一_????????°???è±????_点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；
（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑：（i）当∠MPC=90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM=90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．综上，此问得解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．21·世纪*教育网
【详解】
解：（1）当时，，
点C的坐标为；
当时，，
解得：，
点A的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）①轴，
，
分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当时，轴，
点P的纵坐标为﹣2．
当时，，
解得：，，
点P的坐标为；
（ii）当时，设PC与x轴交于点D．
，，
．
又，
，
，即，
，
点D的坐标为．
设直线PC的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线PC的解析式为．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点P的坐标为或．
②当y=0时，,
解得：x1=-4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，-2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（-2，-4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为,【来源：21cnj*y.co*m】
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为，直线B′M的解析式为，直线BB′的解析式为y=x-2．
分三种情况考虑，如图2所示：【版权所有：21教育】
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥BB′且过线段CM的中点时，直线l的解析式为,
综上所述：直线l的解析式为,或.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标_??????????????????_数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标；②利用待定系数法及平行线的性质，求出直线l的解析式．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，抛物线经过两点，且交轴于另一点.点为第一象限内抛物线上一动点，过点作交于点，交轴于点．2-1-c-n-j-y
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为在点移动的过程中，存在求出此时的值；
（3）在抛物线上取点在坐标系内取点问是否存在以为顶点且以为边的矩形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．21教育网
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或．
【分析】
（1）先利用一次函数_?????????è???????¤_，求出B、C两点的坐标，再根据抛物线解析式及A、B两点坐标设出交点式，再将C的坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；【出处：21教育名师】
（2）如图，过点D作DM⊥_BC???M??????_P（m，?m＋3），点D（m，?m2＋2m＋3），利用参数求出DM，CM的长，由锐角三角函数可求解；
（3）分两种情况讨论，当CE⊥BC时或BE⊥BC时，分别求出直线CE的方程或BE的方程，联立方程组可求解．
【详解】
直线交坐标轴于两点，
点的坐标为，点的坐标为
点的坐标为，点的坐标为
设抛物线的解析式为．
将代入．
得
抛物线解析式为．
过点作于点，如图1所示
设点坐标为，则点坐标为
．
在中，
在中，
在中，，
在中，．
在中，
，
在中，由勾股定理，
得
又
解得(舍去)，
的值为
（3）存在，
若CE⊥BC时，
∴直线CE解析式为：y＝x＋3，
∴
∴(舍去)或者
∴点E坐标（1，4），
若BE⊥BC时，
∴直线BE解析式为：y＝x?3，
∴
∴（舍去），或者
∴点E坐标（?2，?5），
综上所述：当点E（1，4）或（?2，?5）时，以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形．
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