专题01 折叠三件套满分计划-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破01：“折叠三件套”满分计划
1．菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝120°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△AˊMN，若△AˊDC恰为等腰三角形，则AP的长为_____．
【答案】 或2 ﹣2．
【分析】
△A'DC恰为等腰三角形，分_??¤?§???????è??è??_讨论：当A'D=A'C时，当CD=CA'=4时，分别通过解直角三角形，求得AA'的长，即可得到AP的长．21cnjy.com
【详解】
如图，当A’D’=AC时，∠A’DC=∠A’CD=30?，
∴∠AA’D=60?，
又∵∠CAD=30?，
∴∠ADA’=30?，
∴Rt△ADA’中，
由折叠可得，AP=；
如图，当CD=CA’=4时，连接BD交AC于O，则
再Rt△COD中，，
∴AC=，
∴，
由折叠可得， ；
故答案为或2﹣2．
2．如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．连接AE，将沿AE折叠，若点B的对应点落在矩形ABCD的边上，则 a的值为________．
【答案】或
【分析】
分两种情况：①点落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出a的值；②点落在CD边上，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
【详解】
解：分两种情况：
①当点落在AD边上时，如图1．
四边形ABCD是矩形，
，
将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，
，
，
，
；
②当点落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
，．
将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，
，，，
，．
在与中，
，
，
，即，
解得，（舍去）．
综上，所求a的值为或．
故答案为或．
3．如图，在矩形中，，为中点，点为上一动点，将沿所在直线折叠到的位置，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
由题意可知当点G在DE上时，此时GD的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知GE=BE，即可求出GD的最小值．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图所示，
由EG=EB==，可得当点G在DE上时，此时GD的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EGF，
∴EG⊥GF，
∴EG=EB，
∵E是AB边的中点，AB=5，
∴AE=EG=，
∵BC=AD=12，
∴Rt△ADE中，DE=，
∴GD=．
故答案为：．
4．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．2·1·c·n·j·y
【答案】或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图_1?????????????§°_的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；【来源：21·世纪·教育·网】
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为4或4.
5．如图，中，，，点，分别在边，上，且，连接，点是的中点，点是的中点，线段的长为______．
【答案】
【分析】
如图，作CH∥AB，连接DN，_???é??DN??¤C_H于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．首先证明CH=EC，∠ECH=120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．
∵BD∥CH，
∴∠B=∠NCH，
∵BN=CN，∠DNB=∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD=CH，DN=NH，
∵BD=EC=2，
∴EC=CH=2，
∵∠A+∠ACH=180°，∠A=60°，
∴∠ECH=120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ=JH=EC?cos30°=
∴EH=2EJ=2，
∵DM=ME，DN=NH，
∴MN=EH=．
故答案为．
6．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为_________．www.21-cn-jy.com
【答案】1或.
【解析】
试题分析：在中，，，可得∠B=∠C=45°，由折叠可知，BM= ，若使为直角三角形，分两种情况：①,由∠C=45°可得=，设BM=x，则==x，MC=，所以x+=，解得x=1，即BM=1；②，此时点B和点C重合，BM=.所以BM的长为1或.21·世纪*教育网
7．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为_____．www-2-1-cnjy-com
【答案】或
【分析】
分类讨论当MB_??????2??????M_B′＝1时分别求解，在△EN B′中，设EN＝x，根据勾股定理，表示出EB′的值，再根据△EN B′与△B′MA相似，列出等量关系，可得EN的长，再根据勾股定理，即可得出答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：如图，由翻折的性质得
AB＝AB′，BE＝B′E．∠A B′E=∠ABE=90°
∵点B′为线段MN的三等分点
∴①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得
B′E＝．
又∠A B′E=∠ABE=90°
∴∠EB′N+∠M B′A=90°
又∠M B′A+∠M AB′=90°
∴∠EB′N= M AB′
∴△B′EN∽△AB′M，
∴ ＝ ，即＝，
∴x2＝，
∴BE＝B′E＝＝ ．
②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得
B′E＝，
同①可得△B′EN∽△AB′M，
∴ ＝，即 ＝ ，
解得x2＝，BE＝B′E＝＝，
故答案为：或．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A、B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为_____．21教育网
【答案】或
【分析】
分两种情况，当∠BCF＝90°时，点F落在AC的延长线上，当∠CBF＝90°时，画出图形，由直角三角形的性质可求出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC?tan30°＝＝1，
∴BD＝AD＝2，
如图1，当∠BCF＝90°时，点F落在AC的延长线上，
∴∠ADE＝90°，
∴AE＝．
如图2，当∠CBF＝90°，DF＝DA＝DB，
∵∠ACB＝∠CBF＝90°，
∴BF∥AC，
∴∠DFB＝∠DBF＝∠ADF＝∠BDC＝60°，
∵∠ADE＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE，
过点E作EM⊥AD于点M，
∵AD＝2，
∴AM＝1，
∴AE＝．
故答案为：或．
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