专题03 圆满分计划-备战2022年中考数学之满分专题专题训练（含解析）

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突破03：“圆圆满满”满分计划
1．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．21世纪教育网版权所有
(1)BC是⊙O的切线吗?若是，给出证明：若不是，请说明理由；
(2)若⊙O半径为1，求AD的长．
【答案】（1）是切线， 证明见解析；（2）2
【详解】
解：（1）是．理由如下：
如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形．
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
（2）连接BD．
∵DE是直径，
∴∠DBE=90°．
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1．
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=AD=1，
则AD=2．
2．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．www.21-cn-jy.com
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
分析：（1）根据切线长定理_??????PA=P_B，且PO平分∠BPA，利用等腰三角形三线合一的性质得出PO⊥AB．根据圆周角定理得出AC⊥AB，进而得到AC∥PO；2·1·c·n·j·y
（2）连结OA、DF．先用勾股定理计算出AQ=4，再计算出PA=PB=6，利用切线长定理可得到F点为AB的中点，易得DF为△BAP的中位线，则DF=PA=3，DF∥PA，利用DF∥AQ得到△DFE∽△QEA，所以，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，于是BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，最后计算．21·世纪*教育网
详解：（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴PA=PB，且PO平分∠BPA，
∴PO⊥AB．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC∥PO；
（2）连结OA、DF，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAQ=∠PBQ=90°．
在Rt△OAQ中，OA=OC=3，
∴OQ=5．
由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，
∴PA=PB=6．
∵OP⊥AB，
∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，
∴DF∥AP，DF=PA=3，
∴△DFE∽△QEA，
∴
设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，
∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，
∴．
3．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，点D在BC的延长线上，∠ABC的角平分线与AD交于E点，与AC交于F点，且AE＝AF．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，sinD＝，求BC的长．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
（1）根据圆_??¨è§????????????°_∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠AEF=∠AFE，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBF，求得∠BAE=90°，于是得到结论；21cnjy.com
（2）设AB=4k，BD=5k，得到AD=3k．求得AB=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AF＝AE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵∠CFB＝∠AFE，
∴∠CFB＝∠AEB．
∵∠CFB+∠FBC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）解：设AB＝4k，BD＝5k，
∴AD＝3k．
∵AD＝16，
∴k＝，
∴AB＝，
∵∠BAD＝∠ACB＝90°，
∴∠D+∠CAD＝∠CAD+∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝sin D＝．
∵sin∠BAC＝＝，
∴BC＝．
4．我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点 足够长．21·cn·jy·com
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．www-2-1-cnjy-com
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．2-1-c-n-j-y
已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，
求证：
【答案】在上，过点， 为半圆的切线，切点为；EB，EO为∠MEN的三等分线．证明见解析．21*cnjy*com
【详解】
已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， 在上，过点，为半圆的切线，切点为．
求证： EB，EO为∠MEN的三等分线．
证明：如图，连接OF．则∠OFE=90°，
∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B，
∴∠ABE=∠OBE=90°，
∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，
∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，
∴，
∴∠OEB=∠OEF，
∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，
∴EB，EO为∠MEN的三等分线．
故答案为：在上，过点，为半圆的切线，切点为．
EB，EO为∠MEN的三等分线．
5．如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点E是的中点，则DF的长为　 　；
②取的中点H，当的度数为　 　时，四边形OBEH为菱形．
【答案】（1）见解析（2）①②30°
【分析】
（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证；
（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得．
【详解】
解：（1）证明：如图1，，，
AB是的直径，
，
；
（2）①如图2，过F作于H，点E是的中点，
，
，
，即
，
，即，
故答案为．
②连接OE，EH，点H是的中点，
，
四边形OBEH为菱形，
．
故答案为
6．如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，且，点是⊙O外一点，与⊙O相切于点，连接，过点作∥交⊙O于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是⊙O的切线；
（3）若，，连接，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）的长为
【解析】
(1)证明：


(2)连接,
,
又
又
（3），，
,
求得:, ;
过点A作于点H,
求得：,
7．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．21教育网
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
详解：（1）证明：连接OC，如图，
.
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，
而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC=OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．
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