吉林省长春市名校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

长春市名校2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设false（false是虚数单位），则false在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．“点P在直线m上，m在平面false内”可表示为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知向量false，则false与false的夹角大小为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在false中，已知false，false，false，则角C为（ ）
A．false B．false C．false或false D．false
6．如果从装有false个红球和false个黑球的口袋内任取false个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是红球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
7.已知样本数据为false，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为false，方差为false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在正三棱柱false中，false，false，点false是侧棱false的中点，则直线false与平面false所成角的正弦值为false　　false
A．false B．false C．false D．false
1091565050387259．如图，四棱锥false的底面为正方形，false底面false，则下列结论中错误的是false　　false
A．false
B．平面false平面false
C．false和false与平面false所成的角相等
D．异面直线false与false所成的角和异面直线false与false所成的角相等
10．已知false是三个平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false，且false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜false根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为false，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知正方体false中，以下结论错误的有（ ）
A．点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变
B．点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变
C．点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变
D．M是平面false上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆柱的底面半径与高都等于2，则圆柱体积为_________．
14．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________
15．甲?乙两人下棋，甲获胜的概率为false，和棋的概率为false，则乙不输的概率为___________.
365760041592516．已知三棱柱false侧棱false底面false分别是false的中点，且false，过点false作一个截面与平面false平行﹐则截面的周长为________________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)平面内给定三个向量false，false，false.
（1）求满足false的实数false，false；
（2）若false，求实数false的值.
338137553149518．(12分)如图，正方体false中，F为false与false的交点，E为false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）求异面直线false与false所成的角．
19. (12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以false， false， false， false， false， false， false分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中false的值；
（2）求理科综合分数的众数和中位数；
（3）在理科综合分数为false， false的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间false上的概率？
20. (12分)在false中，角false的对边分别为false，若false，且false.
（1）求角false的值；
（2）若false，且false的面积为false，求false边上的中线false的长.
21．(12分)乒乓球比赛规则规定，一局比赛，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开球第3次发球时，甲比分领先的概率；
（2）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
22．(12分) 如图所示，已知平行四边形false和矩形false所在平面互相垂直，false，false，false，false，false是线段false的中点.
（1）求证：false；
（2）求直线false与平面false所成角的余弦值；
（3）设点false为一动点，若点false从false出发，沿棱按照false的路线运动到点false，求这一过程中形成的三棱锥false的体积的最小值.











长春市名校2020-2021学年高一下学期期末考试
数学答案

1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.D 11.D 12.B
13.false 14.39.6 15. false 16. false
12 .B【详解】
因为false，false，且false平面false，false平面false，所以false平面false，所以false上的点到平面false的距离相等，所以三棱锥false的体积不变，故A正确；由图可知，当点false在直线false上运动时，直线false与平面false所8成角和直线false与平面false所成角不相等，故B错误；因为false平面false，所以二面角false的大小等于平面false与平面false所成角的大小，所以二面角false的大小不变，故C正确；因为false是平面false上到点false和false距离相等的点，所以点false的轨迹是平面false与线段false的垂直平分线false所在平面的交线，即点false的轨迹是平面false与平面false的交线false，所以点false的轨迹是过点false的直线，故D正确

16.如图，取AF中点G，分别在false，false上取点H，M，使false，
连接false，
又false分别是false中点，false，
又false，false，false四边形false为平行四边形，
false，false，false平面false，
false，false平面false，
又false，false平面false平面false，
又false平面ABC，false，false分别是false的中点，false，
false，
false，false，
false，
在false中，false，false，
false，false，
false所求截面的周长为false.
故答案为：false.




17.解：（1）因为false，false，false，且false
false，false，false，false，false.
falsefalse，解得false，false.
（2）false，false，false，false.
false，false，false，false.
false，解得false.
18.【详解】
（1）联结EF，
由E为false的中点，F为false的中点知，false，
又false平面false，false平面false，
故false平面false
（2）在正方形ABCD中，false，又false平面ABCD，false平面ABCD，
则false，又false，
故false平面false，又false平面false，
故false，即异面直线false与false所成的角为false


19.【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（3）5．
【分析】（1）根据频率和为false计算出false的值；
（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为false时对应的数据即为中位数；
（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.
【详解】（1）因为false，解得false，所以直方图中false的值为false.
（2）理科综合分数的众数是false，
∵false，
∴理科综合分数的中位数在false内，设中位数为false，
则false，
解得false，即中位数为false．
（3）false
20.在false中，角false的对边分别为false，若false，且false.
（1）求角false的值；
（2）若false，且false的面积为false，求false边上的中线false的长.
【答案】（1）false；（2）false.
【分析】
（1）先由正弦定理边角互化，计算求得false；（2）由（1）可知false是等腰三角形，根据面积公式求边长false，false中，再根据余弦定理求中线false的长.
【解析】
（1）∵false，
由正弦定理边角互化得false，
由于false，∴false，即false，得false.
又false，∴false，∴false.
（2）由（1）知false，若false，故false，则false，
∴false，false（舍）
又在false中，false，
∴false，∴false.
21.（1）0.36（2）0.352


22．（2021·浙江丽水市·高二月考）如图所示，已知平行四边形false和矩形false所在平面互相垂直，false，false，false，false，false是线段false的中点.
（1）求证：false；
（2）求直线false与平面false所成角的余弦值；
（3）设点false为一动点，若点false从false出发，沿棱按照false的路线运动到点false，求这一过程中形成的三棱锥false的体积的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）false；（3）false.
【分析】
（1）利用余弦定理求出false，利用勾股定理可得出false，由已知可得出false，利用线面垂直的判定定理可得出false平面false，由此可得出false；
（2）设点false在平面false内的射影为点false，连接false，可得出false为直线false与平面false所成角，利用等体积法计算出false，可求得false，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线false与平面false所成角的余弦值；
（3）设false与false相交于false，连接false、false，推导出false，可得出false平面false，结合图形可知，当点false在false或false时，三棱锥false的体积最小，可得false，利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
（1）在平行四边形false中，false，false，false，
由余弦定理可得false，false，
false，false，false，false，
因为四边形false为矩形，则false，
false，false平面false，
false平面false，所以false；
（2）在false中，false，false，false，
由余弦定理可得false，
false，平面false平面false，平面false平面false，false平面false，false平面false，
false平面false，false，则false，
false，false，false平面false，
false平面false，false，false，
false，由勾股定理的逆定理知false，false，
设点false在平面false内的射影为false，连接false，
则false为直线false与平面false所成角，false，
由false，可得false，可得false，
又false，false，false，
因此，直线false与平面false所成角的余弦值为false；
（3）设false与false相交于false，连接false、false，
因为四边形false为平行四边形，且false，则false为false的中点，
false且false，false为false的中点，false且false，
所以，四边形false为平行四边形，则false，
false平面false，false平面false，false平面false，
由图可知，当点false在false或false时，三棱锥false的体积最小，
false.