【精品解析】浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期2月第一次联合测试数学试题

浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期2月第一次联合测试数学试题
一、单选题
1．（2021高二下·丽水开学考）过点 ， 的直线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以过P、Q的直线的斜率 ，
故答案为：B
【分析】将P,Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案。
2．（2020高一上·拉萨期末）下列命题正确的是（　　）
A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B．一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C．经过空间任意三点可以确定一个平面
D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由题意，对于A中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，
故答案为：B。
【分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案。
3．（2020高二上·慈溪期末）已知空间向量 ， ，若 ，则实数 （　　）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】
可得： 解得：
故答案为：D.
【分析】根据向量平行可得 ，即可求得答案..
4．（2020高二上·洪洞期中）已知直线 与 平行，则a等于（　　）.
A．-7或-1 B．7或1 C．-7 D．-1
【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】由题意 ，解得 或 ，
时，两直线方程为 ， ，重合，舍去，
时，两直线方程为 ， ，平行．
故答案为：C.
【分析】由两直线平行的条件求解．
5．（2021高二下·丽水开学考）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线的一支
C．抛物线 D．圆
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．
∴|F1Q|=2a．
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，
∴动点Q的轨迹是圆．
故选D．
【分析】由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．
6．（2021高二下·丽水开学考）已知实数x，y满足不等式 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
图中阴影部分为可行域，
目标函数 ，
表示可行域中点 与 连线的斜率，
由图可知点 与 连线的斜率最大，
故 的最大值为 ，
故答案为：C.
【分析】 作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论.
7．（2021高二下·丽水开学考）“ ”是“曲线 表示椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为曲线 为椭圆，
所以 ，解得 且 ，
所以“ ”是“ 且 ”的必要而不充分条件.
故答案为：B
【分析】 直接利用椭圆的方程满足的条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果.
8．（2021高一下·南安期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何 ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（　　）
A．17斛 B．25斛 C．41斛 D．58斛
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则 ，解得 ，
故米堆的体积为 ，
∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴ ，
故答案为：C.
【分析】先求得圆锥底面半径，然后求其体积，然后根据题意求解。
9．（2018高二上·嘉兴期中）在四面体 中， ，二面角 的余弦值是 ，则该四面体外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ，
，
平面 ，
为二面角 ，
在 中， ， ，
取等边 的中心 ，作 平面 ，
过 作 平面 ， （ 交于 ）
，
因为二面角 的余弦值是 ，
，
，
点为四面体的外接球球心，
其半径为 ，表面积为 ，
故答案为：C.
【分析】找出该两平面二面角，计算其余弦值，构造三角形，计算外接球半径，结合表面积计算公式，即可得出答案。
10．（2021高二下·丽水开学考）已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，点 为 的焦点， ，则 （　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设 ，由题知抛物线的焦点坐标为 ，
直线线 与抛物线 联立方程得： ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以由 和 解得 （负的舍去）
所以 ，解得 ，所以
故答案为：A
【分析】设 ，进而 联立方程得： ，再结合韦达定理得 ， ，又因为抛物线焦点在y轴正半轴且 ，故 进而解得 ，。
11．（2021高二下·丽水开学考）正四棱锥 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，不妨设正四棱锥 的底面边长为 ，高 ，取BC中点H，连接OH，OB，SH，BD，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 .
过D做 于E，连接EB，
因为 ，所以 ，
所以 即为相邻两侧面所成的角 ，
因为四个侧面全等，所以 的面积 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为钝角，所以 ，
故答案为：A
【分析】 在正四棱锥S-ABCD，找出空间角的平面角，考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系.
12．（2021高二下·丽水开学考）已知点 为双曲线 的右焦点，直线 ， 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为点 为双曲线 的右焦点，则 ，
设 ，由题意有 ，则 ， ，
又 ，所以 ，则 ，
又 在双曲线上，所以 ，
由 解得 ，
又 在直线 上， ，
所以 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍，因为双曲线离心率大于1），
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 利用已知条件，求出A的坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率的范围即可.
二、填空题
13．（2021高二下·丽水开学考）已知椭圆方程为 ，则其长轴长为　 　，焦点坐标为　 　.
【答案】4；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆的方程得 ，
所以长轴长 ，又 ，即 ，
所以焦点坐标为 .
故答案为：4；
【分析】 直接利用椭圆方程求解,长轴长以及椭圆的焦点坐标即可.
14．（2021高二下·丽水开学考）将一张坐标纸折叠一次，使点 与点 重合，则折痕所在直线方程为　 　，与点 重合的点的坐标是　 　.
【答案】；
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】记点 、 ，则 ，线段 的中点坐标为 ，
所以，折痕所在直线的斜率为 ，且折痕所在直线过点 ，
所以，折痕所在直线的方程为 ，即 .
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 .
因此，与点 重合的点的坐标是 .
故答案为： ； .
【分析】 直接利用中点坐标公式和点关于直线的对称问题的应用求出结果.
15．（2021高二下·丽水开学考）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是　 　 cm3，表面积是　 　 cm2.
【答案】；
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由三视图可还原几何体如下：各棱长均为2的直三棱柱去掉一个直三棱锥所得到的几何体.
∴ ，
，
故答案为： ， .
【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进而求出几何体的体积和表面积.
16．（2021高二下·丽水开学考）一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 的正三角形，则原三角形的面积等于　 　.
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，
本题中直观图的面积为 ，所以原三角形的面积等于 ．
故答案为：
【分析】 求出直观图正三角形的面积，利用一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，求出直观图的面积.
17．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
当异面直线 与 所成角最小时，则 最大，
即 时， .
故答案为：
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解。
18．（2021高二下·丽水开学考）设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 、 是双曲线 上关于 轴对称的不同两点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线 的离心率 是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，而 ，则 ，
∵ ，又 ，则 ，而 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【分析】 设出P、Q坐标，求出直线的斜率，利用已知条件转化求解双曲线的离心率即可.
19．（2016·嘉兴模拟）如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥) 的棱长为2， 在平面 内， 是直线 上的动点，当 到 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为　 　．
【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如下图所示，
取 中点 ， 中点 ，连 ， ， ，易得 为等腰三角形，∴ ，而点 是以 为直径的球面上的点，∴ 到 的距离为四面体上以 为直径的球面上的点到 的距离，故当 ， ， 三点共线时，最大距离 ，此时 ，故投影为以 为底边， 为高的等腰三角形，∴ ．
【分析】先确定直线BC与动点O的位置关系，得到最大距离是AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论．
三、解答题
20．（2021高二下·丽水开学考）如图，已知四棱柱 的底面是菱形，且 平面 ， ， ， 为棱 的中点， 为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明：连结 、 交于点 ，再连结
∴ 且 ，
又∵ ，
∴ 且
∴四边形 是平行四边形，
∴
又∵ 面
∴ 面
（2）证明：∵底面是菱形，
∴
又∵ 面 ， 面
∴ ，
∴ 面
又∵ ，
∴ 面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1） 连结 、 交于点 ，再连结 ，利用中位线的性质有 且 ，结合平行四边形的性质，线面平行的判定即可证 平面 ；
（2）由已知，易证 面 ，利用线面垂直的性质定理即可证 面 。
21．（2021高二下·丽水开学考）已知直线 平行于直线 ，并且与两坐标轴围成的 的面积为24.
（1）求直线 的方程；
（2）求 的内切圆的方程.
【答案】（1）解：设 .
当 时， ；
当 时， .
∵直线 与两坐标轴围成的三角形面积为24，
∴ .
∴ .
∴直线 的方程为 或 .
（2）∵直线 的方程为 ，
直角边长为6和8，斜边长为10，
∴ 的内切圆半径 ，圆心 或
∴ 的内切圆的方程为 或 ．
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；圆的标准方程
【解析】【分析】 (1) 设 ， 利用直线与两坐标轴围成的 的面积为24 ，即可求直线l的方程；
(2) 的内切圆半径 ，圆心 或 ，即可求 的内切圆的方程 。
22．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，已知平行四边形 和矩形 所在平面互相垂直， ， ， ， ， 是线段 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值；
（3）设点 为一动点，若点 从 出发，沿棱按照 的路线运动到点 ，求这一过程中形成的三棱锥 的体积的最小值.
【答案】（1）在平行四边形 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ， ，
， ， ， ，
因为四边形 为矩形，则 ，
， 平面 ，
平面 ，所以 ；
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，则 ，
， ， 平面 ，
平面 ， ， ，
，由勾股定理的逆定理知 ， ，
设点 在平面 内的射影为 ，连接 ，
则 为直线 与平面 所成角， ，
由 ，可得 ，可得 ，
又 ， ， ，
因此，直线 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）设 与 相交于 ，连接 、 ，
因为四边形 为平行四边形，且 ，则 为 的中点，
且 ， 为 的中点， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
由图可知，当点 在 或 时，三棱锥 的体积最小，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 由余弦定理及勾股定理推出AB⊥CA，结合 ，证明AC⊥平面ABF，然后证明AC⊥BF；
(2) 点A在平面BFD内的射影为O，连结DO，∠ADO为直线AD与平面BDF所成角.利用等体积法求得点A到平面BFD的距离，然后求解三角形，推出直线AD与平面BDF所成角的余弦值；
(3) 设 与 相交于 ，连接 、 ， 则 ，CM //平面BFD，说明当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，然后求解即可.
23．（2021高二下·丽水开学考）曲线 ，曲线 .自曲线 上一点 作 的两条切线，切点分别为 ， .
（1）若 点坐标为 ，曲线 的焦点为 .求证： ， ， 三点共线；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解：抛物线焦点为 ， ， ，若切点是 ，则切线斜率是 ，
方程为 ，即 ， ．
设 ， ，则 ，
∵点 在直线 上，则
同理，
则直线 的方程为：
∴点 在直线 上，
即 ， ， 三点共线.
（2）设 ， ， ，则 ，
即 ，
∴
则直线 ，代入 ，得
， ，
同理 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ， 在椭圆上，则 ， ，
，
当 ， 时取等号.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 利用导数的几何意义求出直线BC的方程 ，由F (0， 1)在直线BC上，能证明B，F， C三点共线；
(2)设 ，由 ， 得 ，设 ， ，由已知条件求出 ，从而得到 ，由此能求出 的最大值.
1 / 1浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期2月第一次联合测试数学试题
一、单选题
1．（2021高二下·丽水开学考）过点 ， 的直线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
2．（2020高一上·拉萨期末）下列命题正确的是（　　）
A．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B．一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C．经过空间任意三点可以确定一个平面
D．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
3．（2020高二上·慈溪期末）已知空间向量 ， ，若 ，则实数 （　　）
A．-5 B．5 C．-4 D．4
4．（2020高二上·洪洞期中）已知直线 与 平行，则a等于（　　）.
A．-7或-1 B．7或1 C．-7 D．-1
5．（2021高二下·丽水开学考）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线的一支
C．抛物线 D．圆
6．（2021高二下·丽水开学考）已知实数x，y满足不等式 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·丽水开学考）“ ”是“曲线 表示椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2021高一下·南安期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何 ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（　　）
A．17斛 B．25斛 C．41斛 D．58斛
9．（2018高二上·嘉兴期中）在四面体 中， ，二面角 的余弦值是 ，则该四面体外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021高二下·丽水开学考）已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，点 为 的焦点， ，则 （　　）
A． B． C．3 D．
11．（2021高二下·丽水开学考）正四棱锥 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021高二下·丽水开学考）已知点 为双曲线 的右焦点，直线 ， 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021高二下·丽水开学考）已知椭圆方程为 ，则其长轴长为　 　，焦点坐标为　 　.
14．（2021高二下·丽水开学考）将一张坐标纸折叠一次，使点 与点 重合，则折痕所在直线方程为　 　，与点 重合的点的坐标是　 　.
15．（2021高二下·丽水开学考）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是　 　 cm3，表面积是　 　 cm2.
16．（2021高二下·丽水开学考）一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 的正三角形，则原三角形的面积等于　 　.
17．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为　 　.
18．（2021高二下·丽水开学考）设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 、 是双曲线 上关于 轴对称的不同两点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线 的离心率 是　 　.
19．（2016·嘉兴模拟）如图，直线 平面 ，垂足为 ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥) 的棱长为2， 在平面 内， 是直线 上的动点，当 到 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为　 　．
三、解答题
20．（2021高二下·丽水开学考）如图，已知四棱柱 的底面是菱形，且 平面 ， ， ， 为棱 的中点， 为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
21．（2021高二下·丽水开学考）已知直线 平行于直线 ，并且与两坐标轴围成的 的面积为24.
（1）求直线 的方程；
（2）求 的内切圆的方程.
22．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，已知平行四边形 和矩形 所在平面互相垂直， ， ， ， ， 是线段 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值；
（3）设点 为一动点，若点 从 出发，沿棱按照 的路线运动到点 ，求这一过程中形成的三棱锥 的体积的最小值.
23．（2021高二下·丽水开学考）曲线 ，曲线 .自曲线 上一点 作 的两条切线，切点分别为 ， .
（1）若 点坐标为 ，曲线 的焦点为 .求证： ， ， 三点共线；
（2）求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以过P、Q的直线的斜率 ，
故答案为：B
【分析】将P,Q点坐标代入斜率公式，即可求得答案。
2．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由题意，对于A中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，
故答案为：B。
【分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】
可得： 解得：
故答案为：D.
【分析】根据向量平行可得 ，即可求得答案..
4．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】由题意 ，解得 或 ，
时，两直线方程为 ， ，重合，舍去，
时，两直线方程为 ， ，平行．
故答案为：C.
【分析】由两直线平行的条件求解．
5．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．
∴|F1Q|=2a．
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，
∴动点Q的轨迹是圆．
故选D．
【分析】由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．
6．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
图中阴影部分为可行域，
目标函数 ，
表示可行域中点 与 连线的斜率，
由图可知点 与 连线的斜率最大，
故 的最大值为 ，
故答案为：C.
【分析】 作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论.
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】因为曲线 为椭圆，
所以 ，解得 且 ，
所以“ ”是“ 且 ”的必要而不充分条件.
故答案为：B
【分析】 直接利用椭圆的方程满足的条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果.
8．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则 ，解得 ，
故米堆的体积为 ，
∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴ ，
故答案为：C.
【分析】先求得圆锥底面半径，然后求其体积，然后根据题意求解。
9．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ，
，
平面 ，
为二面角 ，
在 中， ， ，
取等边 的中心 ，作 平面 ，
过 作 平面 ， （ 交于 ）
，
因为二面角 的余弦值是 ，
，
，
点为四面体的外接球球心，
其半径为 ，表面积为 ，
故答案为：C.
【分析】找出该两平面二面角，计算其余弦值，构造三角形，计算外接球半径，结合表面积计算公式，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设 ，由题知抛物线的焦点坐标为 ，
直线线 与抛物线 联立方程得： ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以由 和 解得 （负的舍去）
所以 ，解得 ，所以
故答案为：A
【分析】设 ，进而 联立方程得： ，再结合韦达定理得 ， ，又因为抛物线焦点在y轴正半轴且 ，故 进而解得 ，。
11．【答案】A
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，不妨设正四棱锥 的底面边长为 ，高 ，取BC中点H，连接OH，OB，SH，BD，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 .
过D做 于E，连接EB，
因为 ，所以 ，
所以 即为相邻两侧面所成的角 ，
因为四个侧面全等，所以 的面积 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为钝角，所以 ，
故答案为：A
【分析】 在正四棱锥S-ABCD，找出空间角的平面角，考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系.
12．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为点 为双曲线 的右焦点，则 ，
设 ，由题意有 ，则 ， ，
又 ，所以 ，则 ，
又 在双曲线上，所以 ，
由 解得 ，
又 在直线 上， ，
所以 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍，因为双曲线离心率大于1），
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 利用已知条件，求出A的坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率的范围即可.
13．【答案】4；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据椭圆的方程得 ，
所以长轴长 ，又 ，即 ，
所以焦点坐标为 .
故答案为：4；
【分析】 直接利用椭圆方程求解,长轴长以及椭圆的焦点坐标即可.
14．【答案】；
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】记点 、 ，则 ，线段 的中点坐标为 ，
所以，折痕所在直线的斜率为 ，且折痕所在直线过点 ，
所以，折痕所在直线的方程为 ，即 .
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 .
因此，与点 重合的点的坐标是 .
故答案为： ； .
【分析】 直接利用中点坐标公式和点关于直线的对称问题的应用求出结果.
15．【答案】；
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由三视图可还原几何体如下：各棱长均为2的直三棱柱去掉一个直三棱锥所得到的几何体.
∴ ，
，
故答案为： ， .
【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进而求出几何体的体积和表面积.
16．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，
本题中直观图的面积为 ，所以原三角形的面积等于 ．
故答案为：
【分析】 求出直观图正三角形的面积，利用一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，求出直观图的面积.
17．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
当异面直线 与 所成角最小时，则 最大，
即 时， .
故答案为：
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解。
18．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ，而 ，则 ，
∵ ，又 ，则 ，而 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
【分析】 设出P、Q坐标，求出直线的斜率，利用已知条件转化求解双曲线的离心率即可.
19．【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如下图所示，
取 中点 ， 中点 ，连 ， ， ，易得 为等腰三角形，∴ ，而点 是以 为直径的球面上的点，∴ 到 的距离为四面体上以 为直径的球面上的点到 的距离，故当 ， ， 三点共线时，最大距离 ，此时 ，故投影为以 为底边， 为高的等腰三角形，∴ ．
【分析】先确定直线BC与动点O的位置关系，得到最大距离是AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论．
20．【答案】（1）证明：连结 、 交于点 ，再连结
∴ 且 ，
又∵ ，
∴ 且
∴四边形 是平行四边形，
∴
又∵ 面
∴ 面
（2）证明：∵底面是菱形，
∴
又∵ 面 ， 面
∴ ，
∴ 面
又∵ ，
∴ 面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1） 连结 、 交于点 ，再连结 ，利用中位线的性质有 且 ，结合平行四边形的性质，线面平行的判定即可证 平面 ；
（2）由已知，易证 面 ，利用线面垂直的性质定理即可证 面 。
21．【答案】（1）解：设 .
当 时， ；
当 时， .
∵直线 与两坐标轴围成的三角形面积为24，
∴ .
∴ .
∴直线 的方程为 或 .
（2）∵直线 的方程为 ，
直角边长为6和8，斜边长为10，
∴ 的内切圆半径 ，圆心 或
∴ 的内切圆的方程为 或 ．
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；圆的标准方程
【解析】【分析】 (1) 设 ， 利用直线与两坐标轴围成的 的面积为24 ，即可求直线l的方程；
(2) 的内切圆半径 ，圆心 或 ，即可求 的内切圆的方程 。
22．【答案】（1）在平行四边形 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ， ，
， ， ， ，
因为四边形 为矩形，则 ，
， 平面 ，
平面 ，所以 ；
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，则 ，
， ， 平面 ，
平面 ， ， ，
，由勾股定理的逆定理知 ， ，
设点 在平面 内的射影为 ，连接 ，
则 为直线 与平面 所成角， ，
由 ，可得 ，可得 ，
又 ， ， ，
因此，直线 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）设 与 相交于 ，连接 、 ，
因为四边形 为平行四边形，且 ，则 为 的中点，
且 ， 为 的中点， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
由图可知，当点 在 或 时，三棱锥 的体积最小，
.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 由余弦定理及勾股定理推出AB⊥CA，结合 ，证明AC⊥平面ABF，然后证明AC⊥BF；
(2) 点A在平面BFD内的射影为O，连结DO，∠ADO为直线AD与平面BDF所成角.利用等体积法求得点A到平面BFD的距离，然后求解三角形，推出直线AD与平面BDF所成角的余弦值；
(3) 设 与 相交于 ，连接 、 ， 则 ，CM //平面BFD，说明当点P在M或C时，三棱锥P-BFD的体积最小，然后求解即可.
23．【答案】（1）解：抛物线焦点为 ， ， ，若切点是 ，则切线斜率是 ，
方程为 ，即 ， ．
设 ， ，则 ，
∵点 在直线 上，则
同理，
则直线 的方程为：
∴点 在直线 上，
即 ， ， 三点共线.
（2）设 ， ， ，则 ，
即 ，
∴
则直线 ，代入 ，得
， ，
同理 ，
由 ，解得 ， ，
∴ ， 在椭圆上，则 ， ，
，
当 ， 时取等号.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 利用导数的几何意义求出直线BC的方程 ，由F (0， 1)在直线BC上，能证明B，F， C三点共线；
(2)设 ，由 ， 得 ，设 ， ，由已知条件求出 ，从而得到 ，由此能求出 的最大值.
1 / 1