初中数学人教版八年级上学期 第十二章 12.2 三角形全等的判定
一、基础巩固
1．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；② ；③ ；④ .其中能使 的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2019七下·苏州期末）已知如图， ， ， 且 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
4．（2019·安顺）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
5．（2019七下·双阳期末）如图，已知△AOC≌△BOC，∠ACB=92°，∠B=98°，则∠1= 度。
6．（2019七下·苏州期末）如图， 、 、 三点在同一条直线上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
7．（2019·瓯海模拟）如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC=DE，BC=CE.
求证：AB=CD.
二、强化提升
8．（2019七下·吴江期末）如图，在 和 中， ， ， ，且 ， ， ， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019七下·苏州期末）如图， 、 两点分别位于一个池塘的两端， 是 的中点，也是 的中点，若DE=20米，则 的长为 米.
10．（2019八下·郑州期末）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
11．（2019·龙湾模拟）如图，在 中， ， 为 的中点， 分别为边 上的点，且 .
（1）求证： .
（2）当 时，求 的度数.
12．（2019八下·南浔期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．
（1）已知在半等边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
①如图1，若∠B=∠D，求证：BC=CD；
②如图2，连结AC，探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10 ，点D是射线AM上的一个动点，记∠DCA=a，点B在直线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB=CD．问：当点D在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B也随之运动，请直接写出点B所经过的路径长．
13．（2019·温州模拟）如图
（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．
三、真题演练
14．（2019·嘉兴）如图，在矩形
ABCD中,点
E，F
在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．
15．（2019·柳州）如图，在 ABCD中，全等三角形的对数共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
16．（2019·河池）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件中的∠1=∠2，同时加上公共部分的∠EAB，可证得∠CAB=∠DAE，题中已知AC=AD，因此若添加边，只能添加AB=AE；若添加角，可以添加其它两组角中的任意一组均可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意过D作BC的垂线，垂足为M，延长AD至N，过E作AD的垂线，垂足为N.
,
的面积为:
故答案为：B.
【分析】过D作BC的垂线，垂足为M，延长AD至N，过E作AD的垂线，垂足为N， 利用平行线的性质及垂直的定义，可证∠MDN=90°，再利用同角的余角相等，可证∠MDC=∠NDE，继而可证得△CDM≌△DNE，利用全等三角形的性质，可证CM=NE，然后利用三角形的面积公式，就可求出△ADE的面积。
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AB∥ED，AC∥FD ，∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,
A、添加 ∠A＝∠D ，不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意；
B、添加 AC＝DF ，可用AAS判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
C、添加 AB＝ED ，可用AAS判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
D、添加 BF＝EC ，可以推出BC=EF， BF＝EC ，可用ASA判定两个三角形全等，故本选项不符合题意.
故答案为：A。
【分析】根据题干的已知条件可以推出∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,故要判断两个三角形全等，必须添加一组边对应相等，从而即可一一判断得出答案。
5．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△AOC≌△BOC，∠ACB=92°
∴∠ACO=∠BCO=46°，∠1=∠2
∴在三角形BOC中，根据三角形的内角和即可得到∠2=180°-∠B-∠BCO=36°
∴∠1=∠2=36°。
【分析】根据三角形全等的性质，即可得到对应角相等，根据三角形的内角和，得到∠2的度数即可得到答案。
6．【答案】（1）证明：
,
（2）解：
，
=
= = =
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再结合已知可证∠B=∠CDE，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证∠ACB=∠DCE，同时可求出∠E的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠BCD的度数。
7．【答案】解：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E.
在△ABC和△DCE中，∵ ，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠E，结合已知用边角边可证
△ABC≌△DCE，由全等三角形的性质可得AB=CD。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵BE=BC-EC， ， ，
∴BE=3；
所以A不符合题意。
∵ ，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在 和 中，
，AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，所以C符合题意。
∵∠DEF=75°＞∠F=35°，
∴DF＞EF=5（大角对大边）.
所以B不符合题意。
∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF
∴AB∥DE；
故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据线段的和差可以，由BE=BC-EC=5-2=3得出A不符合题意；利用SSS判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应角相等得出∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，所以C符合题意，根据大边对大角，由∠DEF=75°＞∠F=35°，得出DF＞EF=5，所以B不符合题意，根据全等三角形对应角线段得出∠B=∠DEF，根据同位角相等，二直线平行得出AB∥DE，故D不符合题意。
9．【答案】20
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的中点，也是 的中点
∴AC=DC，BC=EC
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE=20.
【分析】利用线段中点的定义，可证得AC=DC，BC=EC，再利用SAS证明△ABC≌△DEC，然后利用全等三角形的对应边相等，可求出AB的长。
10．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】 两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余，理由如下：首先根据HL判断出 Rt△ABC≌Rt△DEF ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠ABC=∠DEF ，根据直角三角形两锐角互余及等量代换即可得出 ∠ABC+∠DFE=90° ，从而得出结论。
11．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ 为 的中点，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由 得 ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等角的补角相等可得∠BDF=∠FEC，然后用角角边可证 BDF≌ CEF；
（2）由三角形内角和定理可求得∠B=∠C的度数，由等边对等角可得∠BDF=∠BFD，再用三角形内角和定理可求得∠BDF=∠BFD的度数，由（1）中的全等三角形可得∠EFC=∠BFD，则根据平角的意义可求得∠DFE的度数。
12．【答案】（1）解：①证明：连结AC，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，
∴∠B+∠D=180°，
且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴BC=DC；
②解：延长CB，使得CD=BE，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠D=180°，
且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∠BAE=∠DAC，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=CB+BE=CB+CD
（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM⊥AD，D‘H⊥AC，
由旋转图形的特点可知，
CB=CD，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，
∴△∠BCB'≌△DCD‘，
BB'=DD’，
设D'H=x，
由勾股定理得：AH=x， HC=x，
则AC=x+x=10+10 ，
解得x=10， 即D'H=10，
得AH=10，AD’=20，
在Rt△AMC中，
∵AC=10+10，∠DAC=30°，
∴CM=5+5，AM=（5+5），
D'M=AM-AD'=(5+5)-20=5-5，
DM=CM=5+5 ，
∴DD‘=DM-D'M=5+5-5+5=10 .
DD’为D点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）要求BC=DC很容易联想到证△ABC和△ADC全等，为此连接AC，构造两个三角形。∠A和∠C之和为180°， ∠B=∠D ，由四边形内角和得∠B=∠D=90°，根据两个直角三角形斜边和直角边相等证明两个三角形全等。
（2） 由图观察猜想AC=BC+CD，为此延长CB，使得CD=BE。证明△ACD和△ABE全等，得到∠BAE=∠CAD，所以∠CAE等于∠BAD=60°，△CAE是等边三角形，于是AC=CE，即可证得AC=BC+CD。
（3）D点的运动带动B点运动，根据图形旋转的特点得到，证得△∠BCB'和△DCD‘全等，CB'和CD‘是对应边，故B的运动路程和D的运动路程是一样的，所以只要求出D点运动路程即可。为此过D'作DIH垂直AC，设DH'为x， 根据勾股定理把AH和HC用含x的代数式表示，由已知AC的长列方程即可求出x， 即AC的长度，再求出AD‘的长度，过C作CM垂直AD，根据勾股定理，求出CM和AM的长度，从而D'M和DM的长度可求，DD’就等于D'M和DM的长度相减。
13．【答案】（1）解：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE
（2）解：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠CAE=∠ABD， 利用AAS判断△ADB≌△CEA ，由全等三角形的对应边相等可得 AE=BD，AD=CE， 再利用等量代换即可得出结论.（2）根据三角形的内角和及平角的定义可得∠CAE=∠ABD， 利用AAS判断△ADB≌△CEA ，由全等三角形的对应边相等可得AE=BD，AD=CE， 再利用等量代换即可得出结论.
14．【答案】解:添加条件：BE=DF或DE=BF或 AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED-∠CFB或∠BAE-∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.
若选择BE=DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CD，∠ABE=∠CDE，添加条件要使AE=CF，可证△ABE≌△CDF，因此若利用SAS，则可添加BE=DF或DE=BF，若利用AAS或ASA，可添加另外两组角中的一组角相等，或添加AE∥CF，或添加AE⊥BD，CF⊥BD，证明即可。
15．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：
∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC：
∴△AOD≌△COB(SAS)；①同理可得出△AOB≌△COD(SAS)；②
∵BC=AD，CD=AB，BD=BD：
∴△ABD≌△CDB(SSS)；③同理可得：△ACD≌△CAB(SSS).④
因此本题共有4对全等三角形。
故答案为：C。
【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分得出AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：从而即可利用SAS判断出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，利用SSS判断出△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，从而即可得出结论。
16．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥BC，AD∥BC，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠BFC=∠ABF，∠DAE=∠AEB
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BFC=∠AEB，
∴∠BFC=∠ABF=∠DAE=∠AEB，
故图中与∠AEB相等的角的个数是3。
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质得出AB∥BC，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，AD∥BC，从而利用SAS判断出△ABE≌△BCF，根据全等三角形对应角相等得出∠BFC=∠AEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠BFC=∠ABF，∠DAE=∠AEB，故∠BFC=∠ABF=∠DAE=∠AEB，即图中与∠AEB相等的角的个数是3。
17．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于 ，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十二章 12.2 三角形全等的判定
一、基础巩固
1．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
2．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；② ；③ ；④ .其中能使 的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件中的∠1=∠2，同时加上公共部分的∠EAB，可证得∠CAB=∠DAE，题中已知AC=AD，因此若添加边，只能添加AB=AE；若添加角，可以添加其它两组角中的任意一组均可。
3．（2019七下·苏州期末）已知如图， ， ， 且 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意过D作BC的垂线，垂足为M，延长AD至N，过E作AD的垂线，垂足为N.
,
的面积为:
故答案为：B.
【分析】过D作BC的垂线，垂足为M，延长AD至N，过E作AD的垂线，垂足为N， 利用平行线的性质及垂直的定义，可证∠MDN=90°，再利用同角的余角相等，可证∠MDC=∠NDE，继而可证得△CDM≌△DNE，利用全等三角形的性质，可证CM=NE，然后利用三角形的面积公式，就可求出△ADE的面积。
4．（2019·安顺）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AB∥ED，AC∥FD ，∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,
A、添加 ∠A＝∠D ，不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意；
B、添加 AC＝DF ，可用AAS判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
C、添加 AB＝ED ，可用AAS判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
D、添加 BF＝EC ，可以推出BC=EF， BF＝EC ，可用ASA判定两个三角形全等，故本选项不符合题意.
故答案为：A。
【分析】根据题干的已知条件可以推出∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,故要判断两个三角形全等，必须添加一组边对应相等，从而即可一一判断得出答案。
5．（2019七下·双阳期末）如图，已知△AOC≌△BOC，∠ACB=92°，∠B=98°，则∠1= 度。
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△AOC≌△BOC，∠ACB=92°
∴∠ACO=∠BCO=46°，∠1=∠2
∴在三角形BOC中，根据三角形的内角和即可得到∠2=180°-∠B-∠BCO=36°
∴∠1=∠2=36°。
【分析】根据三角形全等的性质，即可得到对应角相等，根据三角形的内角和，得到∠2的度数即可得到答案。
6．（2019七下·苏州期末）如图， 、 、 三点在同一条直线上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：
,
（2）解：
，
=
= = =
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再结合已知可证∠B=∠CDE，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证∠ACB=∠DCE，同时可求出∠E的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠BCD的度数。
7．（2019·瓯海模拟）如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC=DE，BC=CE.
求证：AB=CD.
【答案】解：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E.
在△ABC和△DCE中，∵ ，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠E，结合已知用边角边可证
△ABC≌△DCE，由全等三角形的性质可得AB=CD。
二、强化提升
8．（2019七下·吴江期末）如图，在 和 中， ， ， ，且 ， ， ， ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵BE=BC-EC， ， ，
∴BE=3；
所以A不符合题意。
∵ ，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在 和 中，
，AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，所以C符合题意。
∵∠DEF=75°＞∠F=35°，
∴DF＞EF=5（大角对大边）.
所以B不符合题意。
∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF
∴AB∥DE；
故D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据线段的和差可以，由BE=BC-EC=5-2=3得出A不符合题意；利用SSS判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应角相等得出∠F=∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，所以C符合题意，根据大边对大角，由∠DEF=75°＞∠F=35°，得出DF＞EF=5，所以B不符合题意，根据全等三角形对应角线段得出∠B=∠DEF，根据同位角相等，二直线平行得出AB∥DE，故D不符合题意。
9．（2019七下·苏州期末）如图， 、 两点分别位于一个池塘的两端， 是 的中点，也是 的中点，若DE=20米，则 的长为 米.
【答案】20
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的中点，也是 的中点
∴AC=DC，BC=EC
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE=20.
【分析】利用线段中点的定义，可证得AC=DC，BC=EC，再利用SAS证明△ABC≌△DEC，然后利用全等三角形的对应边相等，可求出AB的长。
10．（2019八下·郑州期末）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】 两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余，理由如下：首先根据HL判断出 Rt△ABC≌Rt△DEF ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠ABC=∠DEF ，根据直角三角形两锐角互余及等量代换即可得出 ∠ABC+∠DFE=90° ，从而得出结论。
11．（2019·龙湾模拟）如图，在 中， ， 为 的中点， 分别为边 上的点，且 .
（1）求证： .
（2）当 时，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ 为 的中点，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由 得 ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等角的补角相等可得∠BDF=∠FEC，然后用角角边可证 BDF≌ CEF；
（2）由三角形内角和定理可求得∠B=∠C的度数，由等边对等角可得∠BDF=∠BFD，再用三角形内角和定理可求得∠BDF=∠BFD的度数，由（1）中的全等三角形可得∠EFC=∠BFD，则根据平角的意义可求得∠DFE的度数。
12．（2019八下·南浔期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．
（1）已知在半等边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°．
①如图1，若∠B=∠D，求证：BC=CD；
②如图2，连结AC，探索线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10 ，点D是射线AM上的一个动点，记∠DCA=a，点B在直线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB=CD．问：当点D在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B也随之运动，请直接写出点B所经过的路径长．
【答案】（1）解：①证明：连结AC，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，
∴∠B+∠D=180°，
且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴BC=DC；
②解：延长CB，使得CD=BE，
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠D=180°，
且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠D=∠ABE，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∠BAE=∠DAC，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=CB+BE=CB+CD
（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM⊥AD，D‘H⊥AC，
由旋转图形的特点可知，
CB=CD，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，
∴△∠BCB'≌△DCD‘，
BB'=DD’，
设D'H=x，
由勾股定理得：AH=x， HC=x，
则AC=x+x=10+10 ，
解得x=10， 即D'H=10，
得AH=10，AD’=20，
在Rt△AMC中，
∵AC=10+10，∠DAC=30°，
∴CM=5+5，AM=（5+5），
D'M=AM-AD'=(5+5)-20=5-5，
DM=CM=5+5 ，
∴DD‘=DM-D'M=5+5-5+5=10 .
DD’为D点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）要求BC=DC很容易联想到证△ABC和△ADC全等，为此连接AC，构造两个三角形。∠A和∠C之和为180°， ∠B=∠D ，由四边形内角和得∠B=∠D=90°，根据两个直角三角形斜边和直角边相等证明两个三角形全等。
（2） 由图观察猜想AC=BC+CD，为此延长CB，使得CD=BE。证明△ACD和△ABE全等，得到∠BAE=∠CAD，所以∠CAE等于∠BAD=60°，△CAE是等边三角形，于是AC=CE，即可证得AC=BC+CD。
（3）D点的运动带动B点运动，根据图形旋转的特点得到，证得△∠BCB'和△DCD‘全等，CB'和CD‘是对应边，故B的运动路程和D的运动路程是一样的，所以只要求出D点运动路程即可。为此过D'作DIH垂直AC，设DH'为x， 根据勾股定理把AH和HC用含x的代数式表示，由已知AC的长列方程即可求出x， 即AC的长度，再求出AD‘的长度，过C作CM垂直AD，根据勾股定理，求出CM和AM的长度，从而D'M和DM的长度可求，DD’就等于D'M和DM的长度相减。
13．（2019·温州模拟）如图
（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE
（2）解：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠CAE=∠ABD， 利用AAS判断△ADB≌△CEA ，由全等三角形的对应边相等可得 AE=BD，AD=CE， 再利用等量代换即可得出结论.（2）根据三角形的内角和及平角的定义可得∠CAE=∠ABD， 利用AAS判断△ADB≌△CEA ，由全等三角形的对应边相等可得AE=BD，AD=CE， 再利用等量代换即可得出结论.
三、真题演练
14．（2019·嘉兴）如图，在矩形
ABCD中,点
E，F
在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．
【答案】解:添加条件：BE=DF或DE=BF或 AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED-∠CFB或∠BAE-∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.
若选择BE=DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CD，∠ABE=∠CDE，添加条件要使AE=CF，可证△ABE≌△CDF，因此若利用SAS，则可添加BE=DF或DE=BF，若利用AAS或ASA，可添加另外两组角中的一组角相等，或添加AE∥CF，或添加AE⊥BD，CF⊥BD，证明即可。
15．（2019·柳州）如图，在 ABCD中，全等三角形的对数共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：
∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC：
∴△AOD≌△COB(SAS)；①同理可得出△AOB≌△COD(SAS)；②
∵BC=AD，CD=AB，BD=BD：
∴△ABD≌△CDB(SSS)；③同理可得：△ACD≌△CAB(SSS).④
因此本题共有4对全等三角形。
故答案为：C。
【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分得出AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：从而即可利用SAS判断出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，利用SSS判断出△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，从而即可得出结论。
16．（2019·河池）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥BC，AD∥BC，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠BFC=∠ABF，∠DAE=∠AEB
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BFC=∠AEB，
∴∠BFC=∠ABF=∠DAE=∠AEB，
故图中与∠AEB相等的角的个数是3。
故答案为：C。
【分析】根据正方形的性质得出AB∥BC，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，AD∥BC，从而利用SAS判断出△ABE≌△BCF，根据全等三角形对应角相等得出∠BFC=∠AEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠BFC=∠ABF，∠DAE=∠AEB，故∠BFC=∠ABF=∠DAE=∠AEB，即图中与∠AEB相等的角的个数是3。
17．（2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于 ，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
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