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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第7讲：数轴上的动点
【知识梳理】
1.数轴上两点之间的距离如何表示？
可用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值．如，数轴上点A，B所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．
2.数轴上一个动点如何字母来表示？
用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减．如，数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是-1+2t．
3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？
两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.
【题型精讲】
类型1
数轴上的规律探究问题
1、（2020七上·东台期中）如图，数轴上点M、N表示的数是m、n，点M在表示-3，-2的两点（包括这两点）之间移动，点N在表示-1，0的两点（包括这两点之间）移动，则以下对四个代数式的值判断正确的是（??
）
A.
的值一定小于3????B.
的值一定小于-7
C.
值可能比2018大????D.
的值可能比2018大
【答案】
D
2、（2020七上·江都期末）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第5个数是________.
【答案】
145
3、（2019七上·大丰月考）如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上.则数轴上表示数﹣2018的点与圆周上表示数字________的点重合.
【答案】
3
4、（2020七上·江都月考）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q
，
如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2018的点与圆周上重合的点对应的字母是________．
【答案】
p
类型2
数轴上的距离问题
1、（2020七上·东台月考）如图：在数轴上点
表示数
，点
表示数
，点
表示数
是最大的负整数，且
满足
.
（1）a=________，b=________，c=________.
（2）若将数轴折叠，使得点
与点
重合，则点
与数________表示的点重合；
（3）点
开始在数轴上运动，若点
以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点
和点
分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设
秒钟过后，若点
与点
之间的距离表示为
，点
与点
之间的距离表示为
，则
________，
________.（用含
的代数式表示）
（4）
的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
【答案】
（1）-3；-1；5
（2）3
（3）3t+2；t+6
（4）解：∵
，
，
∴
.
∴
的值为定值16.
2、（2021七上·兴化期末）两个完全相同的长方形
、
，如图所示放置在数轴上．
（1）长方形
的面积是________．
（2）若点
在线段
上，且
，求点
在数轴上表示的数．
（3）若长方形
、
分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为
，移动时间为
．
①整个运动过程中，
的最大值是?????????
，
持续时间是???????????
．
②当
是长方形
面积一半时，求
的值．
【答案】
（1）48
（2）解：设点
在数轴上表示的数是
，
则
，
，
∵
，
∴
，
解得
，
答：点
在数轴上表示的数是-2；
（3）解：①36；1
②由题意知移动
秒后，
点
、
、
、
在数轴上分别表示的数是
、
、
、
，
情况一：当点
在
、
之间时，
，
由题意知
，
所以
，
解得
；
情况二：当点
在
、
之间时，
，
由题意知
，
所以
，
解得
，
综上所述，当
是长方形
面积一半时，
或8．
3、（2020七上·泰兴期中）我们知道：在数轴上，点M表示实数为x，点N表示实数为y，当
时，点M、N之间的距离记作：MN
=
；当
时，点M、N之间的距离记作：MN
=
，例如：
，
则MN
=
.
如图，点
是数轴上从左向右依次排列的三点，且
，
，点B表示的数是-3.
（1）点A表示的数是________，点C表示的数是________；
（2）动点M，N分别从A，C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：
①点M表示的数
▲
，
点N表示的数
▲
；(用含t的代数式表示)
②求当t为何值时，点M、C之间的距离等于4；
③若MB=NB，请直接写出t的值.
【答案】
（1）-9；6
（2）解：由题意得：点M运动路程为t，点N运动路程为2t，则有：
①
，
②由①及题意可得：
，解得：
或
∴当
或
时，点M、C之间的距离等于4；
③t=5或t=3，理由如下：
由题意得：
，
，
∵MB=NB，
∴
，
解得：t=5或t=3.
4、（2020七上·兴化月考）如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和-11.
（1）线段AB＝________.
（2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为________.
（3）若点P到点A，B的距离之和为13，求点P数轴上对应的数是多少？
（4）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′＝
B′C，求点C在数轴上对应的数是多少？
【答案】
（1）9
（2）－6.5
（3）解：当P点在B点左侧时，
，解得
，
此时P点表示的数是-13，
当P点在AB中间时，
，不符合题意舍去，
当P点在A点右侧时，
，解得
，
此时P点表示的数是0，
综上所述，P点表示的数是0或-13.
（4）解：设
AB′=x，因为AB′=
B′C，则B′C=5x.
所以由题意BC=B′C=5x，
所以AC=B′C-AB′=4x，
所以AB=AC+BC=AC+B′C=9x，
即9x=9，
所以x=1，
所以由题意AC=4，
又因为点A表示的数为-2，
-2-4=-6，
所以点C在数轴上对应的数为-6.
类型3
数轴上行程问题
1、（2019七上·新吴期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：
（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？
（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）解：设动点P在运动过程中距O点的距离为S，当P从A运动到O时,所需时间为：
（秒），
当0≤t≤5时，S＝10﹣2t，
当P从O运动到B时,所需时间为：
（秒）
∴P从A运动到B时,所需时间为：15秒
当5＜t≤15时，S＝t﹣5，
即动点P在运动过程中距O点的距离S＝
；
（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，则点P运动的距离为10+（a-5），点Q运动的距离为a,
10+（a-5）+a=28
解得，a＝
，
则点M所对应的数是：18﹣
＝
，
即点M所对应的数是
；
（3）解：存在，t＝2或t＝
，
理由：当0≤t≤5时，
10﹣2t＝（18﹣10﹣t）×1，
解得，t＝2
当5＜t≤8时，
（t﹣10÷2）×1＝（18﹣10﹣t）×1，
解得，t＝
，
当8＜t≤15时，
（t﹣10÷2）×1＝[t﹣（18﹣10）÷1]×1
该方程无解，
故存在，t＝2或t＝
.
2、（2018七上·江阴期中）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3.
（1）数轴上点A表示的数为________．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S.
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数是多少？
②设点A的移动距离AA′＝x.
（ⅰ)当S＝4时，求x的值；
（ⅱ)D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝
OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．
【答案】
（1）4
（2）解：①因为S恰好等于原长方形OABC面积的一半，所以S＝6，所以O′A＝6÷3＝2，当长方形OABC向左运动时，如图3，A′表示的数为2；当长方形OABC向右运动时，如图4，因为O′A′＝AO＝4，所以OA′＝4＋4－2＝6，所以A′表示的数为6.故数轴上点A′表示的数是6或2.
②（i)如图3，由题意得CO·OA′＝4，因为CO＝3，所以OA′＝
，所以x＝4－
＝
（ii)如图3，当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为4－
x，点E表示的数为－
x，由题意可得方程：4－
x－
x＝0，解得x＝
，如图4，当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意，故舍去．所以综上所述x＝
.
3、（2021七上·江都期末）如图，已知
、
是数轴上的两个点，点
表示的数为
，点
表示的数为
，动点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
秒.
（1）
________，点
表示的数________（分别用含
的代数式表示）；
（2）点
运动多少秒时，
？
（3）若
为
的中点，
为
的中点，点
在运动的过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段
的长.
【答案】
（1）5t；-5+5t
（2）解：∵BP
，
由题意：
，
即
或
，
解得t=3或6；
（3）解：线段MN的长度不变，
理由：①当点P在线段AB上时，
，
②当点P在线段BA的延长线上时，
，
故MN的长度不变.
4、（2020七上·盐都月考）数轴上有
、
、
三点，分别表示有理数
、
、
，动点
、Q开始时都在A处，P以每秒
个单位的速度向右移动，当
点运动到
点时运动停止.设点
移动时间为
秒.
（1）用含
的代数式表示
点对应的数：________.
（2）当
点运动到
点时，点
从
点出发，以每秒
个单位的速度向
点运动，
点到达
点后，再立即以同样的速度返回
点.
①动点
、
到达同一位置（即相遇）时，求t的值.
②当
=
▲
时，
.
【答案】
（1）-26
（2）解：①当点Q到达C点之前
、
相遇时，有-26+t=2t-58，
解得：t=32；
当点Q到达C之后
、
相遇时，有-26+t=20-2（t-39），
解得：t=
.
故答案为32或
；
②t=3或29或35或
或
秒
类型4
数轴上新定义问题
1、（2020七上·赣榆期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点且点C在A、B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，点A表示的数为-2，点B表示的数为2.表示1的点C到A的距离是3，到B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示-1的点D到A的距离是1，到B的距离是3，那么点D就不是（A，B）的好点，但是点D是（B，A）的好点.
知识运用：
（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-6，点N所表示的数为2.数________所表示的点是（M，N）的好点；数________所表示的点是（N，M）的好点；
（2）若点A表示的数a，点B表示的数b，点B在点A的右边，且点B在A、C之间，点B是（C，A）的好点，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；
（3）若A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-11，点B所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒.如果P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点，求t的值.
【答案】
（1）0；-4
（2）解：设点C表示的数是m，
∵点B是（C，A）的好点，
∴
，
∴
，即
，
∴点C表示的数是
；
（3）解：①点P在AB之间时，
，
，
，
点P是（A，B）的好点，则
，
，解得
，
点P是（B，A）的好点，则
，
，解得
，
②点P在点B右边时，
，
，
，
点B是（A，P）的好点，则
，
，解得
，
点B是（P，A）的好点，则
，
，解得
，
综上：t的值是
或
或
或
.
2、（2020七上·江阴月考）阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点.
知识运用：
（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.
在点M和点N中间，数________所表示的点是（M，N）的好点；
（2）在数轴上，数________和数________所表示的点都是（N，M）的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】
（1）2
（2）0；－8
（3）解：设点P表示的数为y，分四种情况：
①P为【A，B】的好点.
由题意，得
，
解得y＝20，
t＝
÷2＝10（秒）；
②A为【B，P】的好点.
由题意，得
＝2[y－（－20）]，
解得y＝10，
t＝
÷2＝15（秒）；
③P为【B，A】的好点.
由题意，得40－y＝2[y－（－20）]，
解得y＝0，
t＝
÷2＝20（秒）；
④A为【P，B】的好点
由题意得
＝2[40－（－20）]
解得y＝100（舍）.
⑤B为【A，P】的好点；
30＝2t，
t＝15.
综上可知，当t为10秒、15秒或20秒，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【课堂演练】
1．（2020·长春市第四十七中学初一月考）如图，在数轴上，点A表示的数是-1，点B表示的数是2.5，解答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是
．
（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数为
．
（3）若将数轴折叠，使点A恰好与表示3的点重合，则点B与表示
的点重合．
（4）若数轴上P、Q两点之间的距离为2016，点P在点Q的左侧，且P、Q两点按（3）中的方式折叠后互相重合，则P、Q两点表示的数分别是
、
．
【答案】
解：（1）A、B之间的距离是|2.5-（-1）|=3.5；
（2）与点A的距离为10的点表示的数是：-1-10=-11或-1+10=9；
（3）则A点与3重合，则中点是1，则数B关于1的对称点是：-0.5，即点B与表示-0.5的点重合；
（4）由中点对应点为1，且P、Q两点之间的距离为2016（P在Q的左侧）可知，
P点表示数1-2016÷2=-1007，Q点表示数1+2016÷2=1009．
故答案为：3.5；-11或9；-0.5；-1007，1009．
2．（2020·苏州市工业园区第一中学初一月考）如图，在数轴上点A表示的数是-3,点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.
（1）点B表示的数是____________；点C表示的数是_________；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）由题意可得：AB＝18,
A0＝3(0为原点),
∴B0＝AB－A0＝15,
∵BC＝2AC,
∴B0-0C＝2(A0＋0C),
∴0C=3.
故答案为15,
3
（2）由题意可得：存在2种情况点P与点Q之间的距离为6，
①点P与点Q相遇前，18－6＝(4＋2)t
，则t＝2秒；
②点P与点Q相遇后，18＋6＝(4＋2)t
，则t＝4秒.
故答案为t＝2或4.
（3）由题意可得：AC＝6,PC＝│6－4t│,QB＝2t,
若PC＋QB＝4,
则│6－4t│＋2t＝4，
解得t＝1或
故答案为点表示的数是1或
【课后巩固】
1、（2016七上·丹徒期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，﹣
，﹣3观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是________，B，C两点之间的距离为________；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是：M________，N________；
（3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，P，Q两点表示的数分别为：P________，Q________（用含m，n的式子表示这两个数）．
【答案】
（1）4或﹣2；
（2）；﹣1008.5；1006.5
（3）n﹣
；n+
2、（2016七上·江阴期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，
AB是圆片的直径．（注：结果保留π
）
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是________数（填“无理”或“有理”），这个数是________；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第________次滚动后，A点距离原点最远；
②当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是________．
【答案】
（1）无理；π
（2）3；﹣6π
3、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为________?cm．
（2）由题（1）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】
（1）5
（2）解：借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为﹣40，
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大[125﹣（﹣40）]÷3=55，
可知爷爷的年龄为125﹣55=70．
答：爷爷的年龄是70岁
4、（2020七上·京口月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示
，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.
【答案】
（1）解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为
，OB段时间为
，BC段时间为
，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）；
（2）解：点Q经过8秒后从点C运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，此时P在OB段走过3个单位，
依题意得：
3+y+2y=10，
解得：y=
，
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+
（秒），
此时相遇点M对应的数是为
；
（3）解：?
当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10-2t=8-t，
解得：t=2，
当点P、Q两点都在OB上运动时，
t-5=2（t-8）
解得：t=11，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8-t=t-5，
解得：t=
；
当P在BC上，Q在OA上运动时，
t-8-5+10=2（t-5-10）+10，
解得：t=17；
即PO=QB时，运动的时间为2秒或
秒或11秒或17秒.
5、（2020七上·泰兴期中）对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动2a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的a关联数”，记作G（A，a）＝{x，y}，其中x
y.
例如：原点O表示0，原点O的1关联数是G（0，1）＝{－1，+2}
（1）若点A表示－3，a＝3，直接写出点A的3关联数.
（2）①若点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，求y的值.
②若G（A，a）＝{－2，7}，求a的值和点A表示的数.
（3）已知G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的3倍.当|y－m|＝6时，直接写出点A表示的数.
【答案】
（1）解：∵点A表示－3，a＝3，
，
∴点A的3关联数G（-3，3）＝{－6，+3}；
（2）解：①点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，
?
解得
，
；
②∵G（A，a）＝{－2，7}，
解得
；
（3）解：∵G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，
，
.
∵点A的速度是点B速度的3倍，
，
.
，
，
即
，
解得
或
.
6、（2020七上·江都期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且
.
（1）a=________，b=________；
（2）在数轴上是否存在一点P，使
，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？
（3）点M从点A出发，沿
的路径运动，在路径
的速度是每秒2个单位，在路径
上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？
【答案】
（1）-8；4
（2）解：根据题意，若要满足
，则点P在线段AB中点右侧，线段AB的中点表示的数为-2，设点P表示的数为x，分三种情况讨论：
①当-2≤x<0时，则x+8-（4-x）=2（-x），
解得：x=-1；
②当0≤x<4时，则x+8-（4-x）=2x，
方程无解
③当x≥4时，则x+8-（x-4）=2x，
解得：x=6.
综上：存在点P，表示的数为-1或6
（3）解：设运动时间为t，根据运动情况，可知MN=1的情况有三种：
①M在A→O上，且M在N左侧，
则2t+3t+1=12，
解得t=
.
②M在A→O上，且M在N右侧，
则2t+3t-1=12，
解得t=
.
③M在O→A上，且N到达点A，
此时，M在A→O上所用时间为8÷2=4（s），
M在O→A上速度为4个单位每秒，
∵MN=1，
∴（8-1）÷4=
，
∴此时时间t=4+
=
，
综上：当MN=1时，时间为
秒，
秒或
秒
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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第7讲：数轴上的动点
【知识梳理】
1.数轴上两点之间的距离如何表示？
可用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值．如，数轴上点A，B所表示的数是a,b，则AB=|a-b|或|b-a|．
2.数轴上一个动点如何字母来表示？
用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减．如，数轴上点A对应的数为-1，点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间是t，则点P所表示的数是-1+2t．
3.怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？
两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a,b，则线段AB的中点所表示的数是(a+b)/2.
【题型精讲】
类型1
数轴上的规律探究问题
1、（2020七上·东台期中）如图，数轴上点M、N表示的数是m、n，点M在表示-3，-2的两点（包括这两点）之间移动，点N在表示-1，0的两点（包括这两点之间）移动，则以下对四个代数式的值判断正确的是（??
）
A.
的值一定小于3????B.
的值一定小于-7
C.
值可能比2018大????D.
的值可能比2018大
2、（2020七上·江都期末）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上由左至右第1个数是1，第2个数是13，第3个数是41，…，依此规律，第5个数是________.
3、（2019七上·大丰月考）如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上.则数轴上表示数﹣2018的点与圆周上表示数字________的点重合.
4、（2020七上·江都月考）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q
，
如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2018的点与圆周上重合的点对应的字母是________．
类型2
数轴上的距离问题
1、（2020七上·东台月考）如图：在数轴上点
表示数
，点
表示数
，点
表示数
是最大的负整数，且
满足
.
（1）a=________，b=________，c=________.
（2）若将数轴折叠，使得点
与点
重合，则点
与数________表示的点重合；
（3）点
开始在数轴上运动，若点
以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点
和点
分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设
秒钟过后，若点
与点
之间的距离表示为
，点
与点
之间的距离表示为
，则
________，
________.（用含
的代数式表示）
（4）
的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
2、（2021七上·兴化期末）两个完全相同的长方形
、
，如图所示放置在数轴上．
（1）长方形
的面积是________．
（2）若点
在线段
上，且
，求点
在数轴上表示的数．
（3）若长方形
、
分别以每秒1个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动．设两个长方形重叠部分的面积为
，移动时间为
．
①整个运动过程中，
的最大值是?????????
，
持续时间是???????????
．
②当
是长方形
面积一半时，求
的值．
3、（2020七上·泰兴期中）我们知道：在数轴上，点M表示实数为x，点N表示实数为y，当
时，点M、N之间的距离记作：MN
=
；当
时，点M、N之间的距离记作：MN
=
，例如：
，
则MN
=
.
如图，点
是数轴上从左向右依次排列的三点，且
，
，点B表示的数是-3.
（1）点A表示的数是________，点C表示的数是________；
（2）动点M，N分别从A，C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：
①点M表示的数
▲
，
点N表示的数
▲
；(用含t的代数式表示)
②求当t为何值时，点M、C之间的距离等于4；
③若MB=NB，请直接写出t的值.
4、（2020七上·兴化月考）如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是﹣2和-11.
（1）线段AB＝________.
（2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为________.
（3）若点P到点A，B的距离之和为13，求点P数轴上对应的数是多少？
（4）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若AB′＝
B′C，求点C在数轴上对应的数是多少？
类型3
数轴上行程问题
1、（2019七上·新吴期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动.设运动的时间为t秒.问：
（1）用含t的代数式表示动点P在运动过程中距O点的距离；
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？
（3）是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等时？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由.
2、（2018七上·江阴期中）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3.
（1）数轴上点A表示的数为________．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S.
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数是多少？
②设点A的移动距离AA′＝x.
（ⅰ)当S＝4时，求x的值；
（ⅱ)D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝
OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．
3、（2021七上·江都期末）如图，已知
、
是数轴上的两个点，点
表示的数为
，点
表示的数为
，动点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
秒.
（1）
________，点
表示的数________（分别用含
的代数式表示）；
（2）点
运动多少秒时，
？
（3）若
为
的中点，
为
的中点，点
在运动的过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段
的长.
4、（2020七上·盐都月考）数轴上有
、
、
三点，分别表示有理数
、
、
，动点
、Q开始时都在A处，P以每秒
个单位的速度向右移动，当
点运动到
点时运动停止.设点
移动时间为
秒.
（1）用含
的代数式表示
点对应的数：________.
（2）当
点运动到
点时，点
从
点出发，以每秒
个单位的速度向
点运动，
点到达
点后，再立即以同样的速度返回
点.
①动点
、
到达同一位置（即相遇）时，求t的值.
②当
=
▲
时，
.
类型4
数轴上新定义问题
1、（2020七上·赣榆期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点且点C在A、B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，点A表示的数为-2，点B表示的数为2.表示1的点C到A的距离是3，到B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示-1的点D到A的距离是1，到B的距离是3，那么点D就不是（A，B）的好点，但是点D是（B，A）的好点.
知识运用：
（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-6，点N所表示的数为2.数________所表示的点是（M，N）的好点；数________所表示的点是（N，M）的好点；
（2）若点A表示的数a，点B表示的数b，点B在点A的右边，且点B在A、C之间，点B是（C，A）的好点，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；
（3）若A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-11，点B所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒.如果P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点，求t的值.
2、（2020七上·江阴月考）阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点.
知识运用：
（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.
在点M和点N中间，数________所表示的点是（M，N）的好点；
（2）在数轴上，数________和数________所表示的点都是（N，M）的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【课堂演练】
1．（2020·长春市第四十七中学初一月考）如图，在数轴上，点A表示的数是-1，点B表示的数是2.5，解答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是
．
（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数为
．
（3）若将数轴折叠，使点A恰好与表示3的点重合，则点B与表示
的点重合．
（4）若数轴上P、Q两点之间的距离为2016，点P在点Q的左侧，且P、Q两点按（3）中的方式折叠后互相重合，则P、Q两点表示的数分别是
、
．
2．（2020·苏州市工业园区第一中学初一月考）如图，在数轴上点A表示的数是-3,点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍.
（1）点B表示的数是____________；点C表示的数是_________；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB=4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【课后巩固】
1、（2016七上·丹徒期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，﹣
，﹣3观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是________，B，C两点之间的距离为________；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2015（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则M，N两点表示的数分别是：M________，N________；
（3）若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，P，Q两点表示的数分别为：P________，Q________（用含m，n的式子表示这两个数）．
2、（2016七上·江阴期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，
AB是圆片的直径．（注：结果保留π
）
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是________数（填“无理”或“有理”），这个数是________；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3
①第________次滚动后，A点距离原点最远；
②当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是________．
3、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为________?cm．
（2）由题（1）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
4、（2020七上·京口月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示
，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.
5、（2020七上·泰兴期中）对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动2a个单位长度（a是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的a关联数”，记作G（A，a）＝{x，y}，其中x
y.
例如：原点O表示0，原点O的1关联数是G（0，1）＝{－1，+2}
（1）若点A表示－3，a＝3，直接写出点A的3关联数.
（2）①若点A表示－1，G（A，a）＝{－5，y}，求y的值.
②若G（A，a）＝{－2，7}，求a的值和点A表示的数.
（3）已知G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的3倍.当|y－m|＝6时，直接写出点A表示的数.
6、（2020七上·江都期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，点A表示的数a，点B表示的数是b，且
.
（1）a=________，b=________；
（2）在数轴上是否存在一点P，使
，若有，请求出点P表示的数，若没有，请说明理由？
（3）点M从点A出发，沿
的路径运动，在路径
的速度是每秒2个单位，在路径
上的速度是每秒4个单位，同时点N从点B出发以每秒3个单位长向终点A运动，当点M第一次回到点A时整个运动停止.几秒后MN=1？
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