人教版数学九年级上册 22.2二次函数与一元二次方程 同步练习（word版含答案）

22.2二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．函数的部分图象如图所示：则方程的解是（
）
A．
B．
C．或
D．或
2．抛物线的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根
D．没有实数根
3．在求解一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑绘制了如图所示的二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出－1）
A．类比
B．演绎
C．数形结合
D．整体思想
4．已知，抛物线的部分图象如图所示，则下列说法：①对称轴是直线；②当时，；③；④方程无实数根．正确的说法有（
）
A．①②③④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
5．关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内，则t的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
6．已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是5．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．-2或4
B．-2或0
C．0或4
D．-2或5
7．“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（
）
A．其图象关于直线x=-1对称
B．函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为4
C．1和-3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D．当x＜-1时，y随x的增大而减小
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（
）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜2
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（　　）
A．﹣2和0
B．﹣4和2
C．﹣5和3
D．﹣6和4
11．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像可知，当方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根时，k的取值范围是_______.
14．抛物线经过点，两点，则不等式的解集是_____．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c≤0的x的取值范围是_____．
16．二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是__________．
17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，则m的取值范围是_____．
三、解答题
18．已知二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x取何值时?
19．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且二次函数图象的顶点坐标为，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
20．已知抛物线的表达式为．
（1）若抛物线与轴有交点，求的取值范围；
（2）设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为、，若，求的值．
21．已知，抛物线，
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．
22．已知二次函数．
（1）当时，求出该二次函数的图象与轴的交点坐标；
（2）若时，该二次函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
参考答案
1．D
解：根据图象可以得到：图象与y轴的交点是（0，3），对称轴是直线x=-2，
则（0，3）关于对称轴对称的点为（-4，3），
的解表示抛物线与直线y=3的交点横坐标，
∴解为：x1=-4，x2=0，
故选D．
2．D
解：如图，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根．
故选：D．
3．C
解：根据函数解析式先得到函数图象，再结合图象得到抛物线与x轴的交点，属于数形结合思想．
故选Ｃ
4．A
解：由抛物线在坐标系中的位置可知，图象过（-1，0），（0，-3），对称轴为x=1，因此①正确；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当-1＜x＜3时，y＜0，
因此②正确；
∵对称轴，
∴2a+b=0，
抛物线过（0，-3），（-1，0），
∴c=-3，a-b+c=0，
∴a=1，b=-2，c=-3，
∴抛物线的关系式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
∴a+b+c=-4，
因此③正确；
由a=1＞0，顶点坐标为（1，-4），
所以当y=-5时，一元二次方程ax2+bx+c=-5无实根，
即一元二次方程ax2+bx+c+5=0无实根，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：A．
5．C
解：根据题意得，，
，
①当时，即，
原方程为，
，满足条件；
②当时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当时，方程的两个根一个在范围内，另一个在范围内；
当时，方程的两个根都在范围内；
即满足条件的t的范围为或，
故选：C．
6．A
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）与（3，0）两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-1和3，
则函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0?（0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是-2或4，
故选：A．
7．A
解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，
∴二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），
∴将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象，
二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．
8．D
解：观察二次函数图象，发现：
开口向下，a＜0，抛物线的顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（1，0）．
A．∵二次函数的对称轴为x=-1，
∴函数的图象关于直线x=-1对称，A正确；
B.观察二次函数图象，发现：开口向下，a＜0，抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，B正确；
C.二次数的图象关于直线x=-1对称，且函数图象与x轴有一个交点（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（-3，0）．
∴1和-3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，C确；
D.x<-1时，y随x的增大而增大，D错误．
故选D．
9．D
解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
故B正确；
C．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故C正确；
D．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：0＜x1＜1，
故D错误；
故选：D．
10．C
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣4和2，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4，
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣6，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣5和3，
故选：C．
11．C
解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，
∴，
∴二次函数的图象与x轴的交点为，，且抛物线开口向上，
∵，
∴当x=1时，y<0，
即对于一元二次方程，当x=1时，1+3+m<0，
∴，
解得．
故选C．
12．A
解：如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，由题意可知：m=4，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5＜t≤4．
故选：A．
13．k＜2
解：如图，二次函数的图像的顶点坐标为
，所以
当时，如图中的直线，此时直线与图像无公共点；
当时，此时直线与图像只有一个公共点；
当时，如图中的直线，此时直线与图像有两个公共点；
因此当时，方程有两个不相等的实根．
故答案为：．
14．或
解：∵
∴
由的向左平移3个单位得到，
∵抛物线经过点，两点
∴的经过点（-4，t），（2，t），
∵
∴
开口向上
∴当或时
即的解集为或
故答案：或
15．x≥5或x≤-1
解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（-1，0），
所以，ax2+bx+c≤0时x的取值范围是x≥5或x≤-1．
故答案为：x≥5或x≤-1．
16．0或2．
解：根据题意得，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，
当即时，
根据抛物线的对称性可得，
点关于直线对称的点为，
的解是或，
故答案为：0或2．
17．m≥﹣3
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点的纵坐标为－3，
∴当关于x的方程ax2＋bx＋c＝m有实数根时，
即抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和直线y=m有交点，
∴m≥﹣3
故答案为：m≥﹣3
18．（1）y=x2-2x-3；（2）x＜-1或x＞3
解：（1）根据题意得：，
解得：，
所以二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）令x2-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
∴二次函数与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∵1＞0，
∴二次函数开口向上，
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．
19．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）或
解：（1）设二次函数的表达式为，
把点代入，得，解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，解得或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x=-1，
∴D（-2，3），
由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜-2或x＞1．
20．（1）；（2）．
解：（1）∵抛物线与轴有交点，
∴方程有实数根，
∴．
解．
（2）由题意得：、是方程两个根，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（1）见解析；（2）
解：（1）由题意：==，
不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：，
此时抛物线得解析式为：，
令，解得，，故，
．
22．（1），；（2）的值为或
解：（1）由题意，得，
当时，．
解得，．
该二次函数的图象与轴的交点坐标为，．
（2）抛物线的对称轴为．
若抛物线与轴只有一个交点，则交点为．
有，解得；
若抛物线与轴有两个交点，
当，时，，解得；
当，时，，解得；
综上所述，的值为或．