第一章　1.1　第1课时　集合的概念-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

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§1　集合
1.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)考察下列每组对象,能组成一个集合的是(　　)
A.某校高一年级聪明的孩子
B.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标相等的点
C.不小于3的整数
D.3的近似值
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是(　　)
A.3.14 B.-5 C.37 D.7
3.若集合A只含有元素a,则下列各选项正确的是(　　)
A.A∈a B.a?A
C.a∈A D.a=A
4.(多选题)下列关系正确的有(　　)
A.12∈R B.2?R
C.|-3|∈N D.|-3|∈Q
5.下列对象能组成集合的是(　　)
A.高一年级全体较胖的学生
B.著名的科学家
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
6.(多选题)已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示不正确的是(　　)
A.-1?A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34?A
7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为　　　　　.?
8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是　　　　　.?
能力提升练
1.(多选题)下面说法不正确的是(　　)
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解可表示为{1,1}
2.已知集合A中含有3个元素:x,yx,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 020+y2 021=　.?
3.已知集合M满足条件:若a∈M,则1+a1-a∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.


4.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;
(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.








素养培优练
　设A是由一些实数组成的集合,若a∈A,则11-a∈A,且1?A.
(1)若3∈A,求集合A;
(2)求证:若a∈A,则1-1a∈A;
(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.





1064260010642600第一章预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)考察下列每组对象,能组成一个集合的是(　　)
A.某校高一年级聪明的孩子
B.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标相等的点
C.不小于3的整数
D.3的近似值
解析“聪明”“近似”都没有确定的标准,不能组成集合.
答案BC
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是(　　)
A.3.14 B.-5 C.37 D.7
解析7是实数,但不是有理数,故选D.
答案D
3.若集合A只含有元素a,则下列各选项正确的是(　　)
A.A∈a B.a?A
C.a∈A D.a=A
解析由题意知A中只有一个元素a,∴a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.
答案C
4.(多选题)下列关系正确的有(　　)
A.12∈R B.2?R
C.|-3|∈N D.|-3|∈Q
解析A中,12∈R,正确;B中,2?R,错误;C中,|-3|∈N,正确;D中,|-3|∈Q,错误,故选A,C.
答案AC
5.下列对象能组成集合的是(　　)
A.高一年级全体较胖的学生
B.著名的科学家
C.全体很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
解析“较胖”“著名”与“很大”的标准不明确,所以A、B、C不能组成集合;对于D,平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点,可知这个点就是△ABC外接圆的圆心,满足集合的定义,故选D.
答案D
6.(多选题)已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示不正确的是(　　)
A.-1?A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34?A
解析当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,A错误;
若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=-103?Z,B错误;
令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,C正确;
当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,D错误.
答案ABD
7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为　　　　　.?
解析由题意得x+2=1,或x2=1,所以x=1,或x=-1.
当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1.
答案1
8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是　　　　　.?
解析若a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.
答案8
能力提升练
1.(多选题)下面说法不正确的是(　　)
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解可表示为{1,1}
解析因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确;
因为N表示自然数集,-0.5?N,0.5?N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确;
根据集合中元素的互异性知D说法不正确.
答案BCD
2.已知集合A中含有3个元素:x,yx,1,B中含有3个元素:x2,x+y,0,若A=B,则x2 020+y2 021=　.?
解析由集合元素的互异性可知x2≠0,x≠1,即x≠1,且x≠0,又A=B,∴yx=0,则y=0,∴x+y=x,即x2=1.∴x=-1(x=1舍去).则x2 020+y2 021=(-1)2 020+02 021=1.
答案1
3.已知集合M满足条件:若a∈M,则1+a1-a∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.
解∵3∈M,∴1+31-3=-2∈M.
∴1-21+2=-13∈M;1+-131--13=12∈M.
又∵1+121-12=3∈M,
∴集合M的所有元素为3,-2,-13,12.
4.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;
(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
解(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
素养培优练
　设A是由一些实数组成的集合,若a∈A,则11-a∈A,且1?A.
(1)若3∈A,求集合A;
(2)求证:若a∈A,则1-1a∈A;
(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.
(1)解∵3∈A,∴11-3=-12∈A,
∴11--12=23∈A,
∴11-23=3∈A,∴A=3,-12,23.
(2)证明∵a∈A,∴11-a∈A,
∴11-11-a=1-a-a=1-1a∈A.
(3)解假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=11-a,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.
∵Δ=(-1)2-4=-3<0,
∴a2-a+1=0无实数解.
这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,
故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.