2020-2021学年人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题 课件（张PPT）

13.4 最短路径问题
第13章 轴对称
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人教版 数学（初中） （八年级 上）
前 言
学习目标
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”桥梁作用，感悟转化的数学思想。
重点难点
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
点到点：
两点之间，线段最短
练习1：两个城市之间修要修一条公路，怎样设计才能最省材料？（大同-朔州）
实际问题
数学问题
实际问题
转化
解决
回顾与思考
如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？为什么？
测试
点到线：
垂线段最短
练习2：从河边引水到村庄里，怎样铺设管道才能最省材料？
河
村
回顾与思考
如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？为什么？
思考
如图，点A和点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。
C
C’
连接AB，与l交于C点
猜想：在l上任意取一点C’（与点C不重合），结合三角形三边关系，你发现了什么？ AC’+BC’_____AB
测试
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．河边饮马点C在河边什么地方可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
转化为数学问题
探究
　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
在直线l上找一点C，
使AC+BC最短
猜想一下，点C的位置会在哪呢？
在练习纸上尝试画出？
你能用自己的语言
把问题抽象为数学问题吗？
探究
B
·
·
A
l
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B′；
连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
B’
C
画法
B
·
·
A
l
B’
C
C’
在l上任取另一点C’(与点C不重合)，
连结BC’、AC’、B’C’
证明：
∴BC+AC=B’C+AC=AB’ ．
∴BC’+AC’=B’C’+AC’
∵直线l是点B、B’的对称轴，
点C、C’在对称轴上，
在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
即：AC’+BC’ >AC+BC
∴BC=B’C， BC’=B’C’．
验证
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
探究
B
A
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ
探究
解：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径AＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
B
A
A1
M
N
猜想
B
A
A1
M
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
验证
解决最短路径问题的基本步骤：
1.实际问题---数学问题（点、线）
2.未知---已知
3.利用轴对称变换和平移变化
4.根据“两点之间，线段最短”,确定最短路径
总结
感谢各位的仔细聆听
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