2021-2022学年九年级数学苏科版上册《1.4用一元二次方程解决问题》同步能力提升训练（word版有答案）

2021年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》同步能力提升训练（附答案）
1．从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（　　）A．100cm2 B．121cm2 C．144cm2 D．169cm2
2．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元，由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元．则平均每次降低成本的百分率是（　　）A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
3．如果关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）
A．x（5+x）＝6 B．x（5﹣x）＝6 C．x（10﹣x）＝6 D．x（10﹣2x）＝6
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．5s
6．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为　 　米．
7．如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是　 　m．
8．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：　 　．
9．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．
（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？
（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？
10．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
12．“绿水青山就是金山银山”为了改生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园．
（1）2020年11月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的3倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2020年12月底，一期工程顺利按原计划完成，总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2021年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a%，里程数较一期增加3a%；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a%，里程数较一期增加5a%，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a%，求a的值．
13．某科研所研制一种新型环保产品，需A、B两种原料若干千克，且B种原料的质量是A种原料的质量的6倍，计划投入9.9万元采购A、B两种原料，现从原料商家了解到，A种原料每千克的价格为3000元，B种原料每千克的价格为600元．
（1）求最多能购买多少千克A种原料？
（2）根据实际需求，科研所购买A、B两种原料的质量分别在（1）中能购买最多量的基础上都增加a%，商家在价格方面做了调整，A种原料的价格每千克下降a%，B种原料的价格每千克下降5a元，实际投入资金与计划投入资金相同，求a的值．
14．胡师傅今年开了一家煮品店，5月份盈利3600元，7月份盈利5184元，且从5月到7月份，每月盈利的平均增长率相同．
（1）求每月盈利的平均增长率．
（2）按照这个平均增长率，预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到多少元？
15．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
16．2020年底，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，到2020初，新冠肺炎席卷全国，掀起一场史无前例的防疫“战斗”．
（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）某小区物管为预防业主感染传播，购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了3000元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的3倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花2元．则该物业购买A、B两种口罩的单价各为多少元？
17．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
18．小张准备进行如下实验操作：把一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm2，则这两个正方形的边长是多少？
（2）小张认为，这两个正方形的面积之和不可能等于11cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
19．某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价100元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为81元．
（1）求每次降价的百分率．
（2）若按标价出售，每瓶能盈利100%，问第一次降价后销售消毒液100瓶，第二次降价后至少需要销售多少瓶，总利润才能超过5000元？
20．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
（1）当售价上涨x元时，那么销售量为　 　个；
（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？
21．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．
（1）x的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？
参考答案
1．解：设正方形边长为xcm，依题意得x2＝2x+80
解方程得x1＝10，x2＝﹣8（舍去）
所以正方形的边长是10cm，面积是100cm2
故选：A．
2．解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得100（1﹣x）（1﹣x）＝81，
解得x＝0.1或1.9（不合题意，舍去）
即x＝10%
故选：D．
3．解：∵关于x的方程x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝0有三个根，
∵x3﹣5x2+（4+k）x﹣k＝0
∴（x﹣1）（x2﹣4x+k）＝0
∴①x﹣1＝0，解得x1＝1；
②x2﹣4x+k＝0，
∴△＝16﹣4k＝0，即k＝4，
∴k的值是k＝4．
故选：B．
4．解：一边长为x米，则另外一边长为：（5﹣x）米，
由题意得：x（5﹣x）＝6，
故选：B．
5．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
6．解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
7．解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m．
根据题意可得，x（18﹣2x）＝36．
解得x1＝6（舍去），x2＝3．
答：AB的长为3m．
故答案是：3．
8．解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
9．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．
解得x≥50．
答：4月份售出B型小家电至少50台；
（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：
（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．
整理，得5y2﹣26y+33＝0．
解得y1＝3，y2＝2.2．
为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．
答：两种型号的小家电都降价3元．
10．解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）＝10．
化简，整理，得x2﹣3x+2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2，
则3+1＝4，2+3＝5，
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．
11．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．
（2）∵S△ABC＝，
∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ＝，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
12．解：（1）设修建滨河步道的里程数是x千米，则疏通河道的里程数是（20﹣x）千米，
根据题意得：x＝3（20﹣x），
解得：x＝15．
答：原计划修建滨河步道15千米．
（2）一期工程疏通河道的里程数是20﹣15＝5（千米），
一期工程每千米的疏通河道的工程费为：＝120（万元），
一期工程每千米的修建滨河步道的工程费为：＝16（万元），
二期工程疏通河道的里程数是5（1+3a%）千米，修建滨河步道的里程数是15（1+5a%）千米，
由题意得：5（1+3a%）?120（1﹣2.5a%）+15（1+5a%）?16（1+2.5a%）＝840（1+2a%），
设a%＝m，则600（1+3m）（1﹣2.5m）+240（1+5m）（1+2.5m）＝840（1+2m），
25m2﹣7m＝0，
m1＝0.28，m2＝0（舍去），
∴a＝28．
13．解：（1）设购买A种原料x千克，则购买B种原料6x千克，
根据题意得：3000x+600×6x≤99000，
解得：x≤15．
答：最多能购买15千克A种原料．
（2）根据题意得：3000×（1﹣a%）×15×（1+a%）+（600﹣5a）×15×6×（1+a%）＝99000，
整理，得：8a2﹣300a＝0，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝37.5．
答：a的值为37.5．
14．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，
则有3600（x+1）2＝5184，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5184+5184×0.2＝6220.8（元）．
答：预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到6220.8元．
15．解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
16．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：2+2x+x（2+2x）＝288，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设该物业购买A种口罩的单价为y元，则B种口罩的单价为（y+2）元，
由题意得，＝×3，
解得，y＝2，
经检验y＝2是原方程的解，
则y+2＝4，
答：该物业购买A种口罩的单价为2元，B种口罩的单价为4元．
17．解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，
当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，
∴AP＝4cm，AQ＝4cm，
∴S△APQ＝×4×4＝8（cm2）．
（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
根据题意得：S△ABC＝××12×8＝24cm2，
当0＜t＜6 时如图1：
S△APQ＝（12﹣2t）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12（舍去）或t＝2．
当6＜t＜8 时如图2：
S△APQ＝（2t﹣12）（8﹣t）＝24，
整理得t2﹣14t+72＝0，
△＜0，无解．
当t＞8时如图3：
S△APQ＝（2t﹣12）（t﹣8）＝24，
整理得t2﹣14t+24＝0，
解得t＝12或t＝2（舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．
18．解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝13，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解方程得x1＝2，x2＝3，
因此这两个正方形的边长分别是2cm、3cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．理由：
设两个正方形的面积和为ycm2，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5＞11，
∴两个正方形的面积之和不可能等于11cm2．
19．解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：每次降价的百分率为10%．
（2）设第二次降价后需要销售y瓶，则
100÷（1+100%）＝50（元），
100×（1﹣10%）＝90（元），
（90﹣50）×100+（81﹣50）y＞5000，
解得y＞，
∵y为整数，
∴第二次降价后至少需要销售33瓶，总利润才能超过5000元．
20．解：（1）∵台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
∴售价上涨x元，销量就减少10x个，
∴销售量为（600﹣10x）个．
（2）由题意可知：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
解得：x＝10或x＝40，
由于售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，
∴x＝10，
∴600﹣10x＝500，
答：售价应该定为50元，此时售出台500个．
21．解：（1）依题意，得：1+x+x2＝111，
整理，得：x2+x﹣110＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
答：x的值为10．
（2）三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000＝1111（人），
四轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000＝11111（人）．
∵11111＞10000，
∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．