《第1章一元二次方程》自主学习能力达标测评1（附答案）2021年暑假九年级数学苏科版上册（word版含解析）

苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》2021年暑假自主学习
能力达标测评1（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x﹣2y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．
2．若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，则关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝﹣5
C．x1＝3，x2＝5 D．x1＝3，x2＝﹣5
3．亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　）
A．1 B．0 C．7 D．9
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k＝0（k为常数）的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　）
A．7 B．8 C．4 D．7或8
6．关于x的一元二次方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0的一个根是0，则k的值是（　　）
A．﹣3或1 B．1 C．﹣3 D．﹣1
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m为非负整数，且该方程的根都是整数，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．0或1 D．m＜2
8．将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A． B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．
9．已知直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+4x+1＝0实数根的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
10．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1?x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0有一个根为2，那么m＝　 　．
12．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为　 　平方米．
13．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
14．若关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　．
16．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
17．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是　 　．
18．若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2﹣a的值是　 　．
19．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为　 　．
20．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　 　．
三．解答题（共8小题，21、22、23、24、25每小题6分，26、27、28每小题10分，共计60分）
21．计算： （1）3x（x﹣3）＝2（x﹣3）； （2）x2﹣2x﹣8＝0．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
25．已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
26．我国强大的制造业系统在“新冠肺炎”疫情防控中发挥了巨大作用．为缓解口罩供需矛盾，疫情防控期间新增3000多家公司生产口罩．统计数据显示：A公司口罩日产量比B公司口罩日产量多300万只，A公司生产10000万只口罩与B公司生产4000万只口罩所用的时间相等．
（1）A，B两公司口罩日产量分别是多少？
（2）A公司由主营汽车生产临时转型口罩生产，随着工人操作不断娴熟和技术不断改进，口罩月产量保持相同增长率的增长．已知A公司第1个月口罩产量为15000万只，第3个月口罩产量为18150万只，请通过计算判断A公司第4个月口罩产量能否达到20000万只？
27．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
28．2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：A．属于一元二次方程，符合题意；
B．属于二元二次方程，不符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D．属于分式方程，不符合题意．
故选：A．
2．解：∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3，
∴关于x的方程（x+2）2+b（x+2）+c＝0的两个根满足x+2＝1或x+2＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
3．解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
4．解：∵Δ＝（k+2）2﹣4k
＝k2+4k+4﹣4k
＝k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根，
①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得
16﹣24+m+1＝0，
∴m＝7，
∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，
设方程的另一个根为a，
则4+a＝6，
∴a＝2，
∴能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，
∴△＝（﹣6）2﹣4（m+1）＝0，
∴m＝8，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，
∴能构成三角形．
综上，m的值是7或8，
故选：D．
6．解：∵方程（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0，
∴k﹣3≠0，
∴k≠﹣3．
将x＝0代入（k+3）x2+5x+k2+2k﹣3＝0，得：k2+2k﹣3＝0，
解得：k1＝﹣3（不合题意，舍去），k2＝1，
故选：B．
7．解：∵一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m＝0或1，
当m＝0时，x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，此时方程的根不是整数，
∴m＝0舍去；
当m＝1时，x2﹣2x＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4，此时方程的根都是整数，
∴m＝1，
故选：A．
8．解：3x2+6x+2
＝3（x2+2x+1﹣1）+2
＝3（x+1）2﹣3+2
＝3（x+1）2﹣1，
故选：C．
9．解：∵直线y＝﹣x+a不经过第一象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+4x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+4x+1＝0是一元二次方程，
∵△＝42﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
10．解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1?x2＝﹣m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1?x2＝﹣2m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：把x＝2代入方程得：22﹣6×2+m﹣1＝0．
解得m＝9．
故答案是：9．
12．解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+2）米，
依题意得：（x+2﹣2×2）（x﹣2×2）×2＝96，
整理得：x2﹣6x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣4（不合题意，舍去），x2＝10，
∴（x+2）x＝（10+2）×10＝120（平方米）．
故答案为：120．
13．解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，
∴|x1﹣x2|＝7，
故答案为：7．
14．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜6且k≠2．
故答案为：k＜6且k≠2．
15．解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α?β＝﹣1，
∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5．
故答案为：5．
16．解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
17．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
18．解：∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2021﹣a2﹣a＝2021﹣（2a2+a）＝2021﹣×2＝2020．
故答案为：2020．
19．解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
20．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
三．解答题（共8小题，21、22、23、24、25每小题6分，26、27、28每小题10分，共计60分）
21．解：（1）∵3x（x﹣3）＝2（x﹣3），
∴3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（3x﹣2）＝0，
∴x1＝3，x2＝；
（2）∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或 x+2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
22．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
23．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
24．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
25．解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×，
∴4m2＞n2，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2＝，
∴（2m）2﹣4×＝64，即＝4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝．
∴AD＝＝，
∴＝16，
∴n＝8，
代入＝4，
解得m＝4，
∴m＝4，n＝8．
26．解：（1）设B公司口罩日产量是x万只，则A公司口罩日产量是（x+300）万只，
依题意得：＝，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x+300＝500．
答：A公司口罩日产量是500万只，B公司口罩日产量是200万只．
（2）设A公司口罩月产量的增长率为m，
依题意得：15000（1+m）2＝18150，
解得：m1＝0.1＝10%，m2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
A公司第4个月口罩产量为18150×（1+10%）＝19965（万只），
∵19965＜20000，
∴A公司第4个月口罩产量不能达到20000万只．
27．解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
28．解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）?＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：11月份和12月份的平均增长率为50%．
（2）依题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，
解得：a≥53．
又∵a为整数，
∴a可取的最小值为54，
∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．
答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．