2021-2022学年苏科版数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系练习（word版含答案）

1.3 一元二次方程的根与系数的关系（2021）
一．选择题
1．若2+，2﹣是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．5
2．若一元二次方程x2﹣8x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．0
4．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1?x2＜0
C．x1≠x2 D．方程必有一正根
5．关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4
6．下列方程中，两个实数根的和为0的是（　　）
A．x2﹣x＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
8．关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
9．已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（　　）
A．11 B．12
C．m有无数个解 D．13
10．已知关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，其中m是实数，则m可取的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值等于 　 　．
12．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　 　．
13．已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　 　．
14．实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则＝　 　．
15．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　．
16．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　 　．
17．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　 　．
18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：
①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为　 　．
三、解答题
19．关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
20．如果关于x的一元二次方程a?x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程?x2+x＝0的两个根是?x1＝0，?x2＝﹣1，则方程?x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0；
②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程?x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
21．阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，∴p≠．
∵1﹣q﹣q2＝0可变形为（）2﹣（）﹣1＝0．
根据p2﹣p﹣1＝0和（）2﹣（）﹣1＝0的特征．
∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p+＝1，即＝1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：2m2﹣5m﹣1＝0，+﹣2＝0且m≠n，求
（1）mn的值；
（2）+．
22．已知关于x的方程：4x2+4mx+2m﹣1＝0（m为实数）．
（1）求证：对于任意给定的实数m，方程恒有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求证：x1+x2+m＝0．
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，方程的两根分别为x1，x2．
（1）若c＝1，x1＝﹣1，
①用含a的代数式表示b；
②若方程两根（包括x1，x2）之间有且只有三个整数，求a的取值范围；
（2）已知，设y＝x1?x2，请用含c的代数式表示y，并求出y的最小值．
24．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．
（1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”　 　．
（2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根x3＝、x4＝　 　．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为　 　，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程2020x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2020的两根为　 　．
25．已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1＝m，x2＝n，且n﹣m＝1．
（1）用含m的代数式表示b和c；
（2）若c＝0，求n的值；
（3）当x＝1时，代数式x2+b1x+c1的值分别为k，当x＝2时，代数式x2+b1x+c1的值分别为4k，其中k、b1、c1均为整数，且满足﹣c1＜b1＜2k，求k、b1、c1的值．
26．已知关于x的一元二次方程2x2+（k+1）x+k﹣1＝0有两个异号的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设x1、x2是该方程的两个根，且|x1|+|x2|＝4，求k的值．
27．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0，根据下列条件，分别求出k的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根x1，x2满足|x1|＝x2．
28．关于x的方程3x2+mx﹣8＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求另一个根及m的值．
29．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围．
（2）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，求出b+c的值；若没有，说明理由．