2021--2022学年苏科版数学八年级上册3.3 勾股定理的简单应用 同步练习（word版含答案）

3.3勾股定理的简单应用
一．选择题
1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（　　）
A．5m B．12m C．13m D．18m
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　）
A．5m B．6m C．3m D．7m
3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺．
A．8 B．10 C．13 D．12
4．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）
A．2.9×2.2 B．2.8×2.3 C．2.7×2.4 D．2.6×2.5
5．如图，将一根长度为8cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm
6．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）
A．15m B．9m C．7m D．8m
7．如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是（　　）米
A．2 B．3 C． D．
8．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2021条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　）
A．0 B． C． D．1
9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
10．如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米（即MN＝1.8米）的汽车正直停入车库（MN∥AB），车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．（﹣）米
二．填空题
11．长方形零件尺寸（单位：mm）如图，则两孔中心A和B的距离为 　 　mm．
12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　 　方向航行．
13．现将一支长16cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个底面长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为　 　cm．
14．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　 　寸．
15．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”
译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”
示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为　 　尺，根据题意，可列方程为　 　．
三．解答题
16．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
17．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路L旁选取一点P，在公路L上确定点O、B，使得PO⊥L，OP＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路L上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．求AB的距离和此车的速度．（参考数据＝1.41，＝1.73）
18．某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形，
在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝12m，
根据勾股定理得，AB＝＝＝13（m），
即旗杆折断部分AB的高度是13m，
故选：C．
2．解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
3．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水的深度是12尺，
故选：D．
4．解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．
∴只有2.9×2.2薄木板能从门框内通过，
故选：A．
5．解：连接CD，
∵中点C竖直向上拉升3cm至D点，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD＝90°，AC＝BC＝AB＝4cm，AD＝BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD＝＝＝5（cm），
∴BD＝5cm，
∴AD+BD＝10cm，
∵AB＝8cm，
∴该弹性皮筋被拉长了：10﹣8＝2（cm），
故选：D．
6．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
7．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
设BD＝x米，则DE＝（5﹣x）米，
在直角△BDF中，∠DBF＝60°，则BF＝x米，DF＝x米．
∴EF＝（2﹣x）米．
在直角△DFE中，由勾股定理知：DE2＝DF2+EF2，即（5﹣x）2＝（x）2+（2﹣x）2．
解得x＝．
即BD的长是米．
故选：C．
8．解：根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．
白甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．
因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，
因为2021÷6＝336…5，
所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2021条棱分别停止的点是B，A1，
根据勾股定理，得它们之间的距离是＝，
故选：B．
9．解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
故绳索长14.5尺．
故选：C．
10．解：如图所示，过C作CO⊥DE于O，
∵∠CDE＝45°，CD＝，
∴CO＝CD?cos∠CDE＝，
∵AB＝MN+CO+FG，
∴FG＝3﹣1.8﹣＝，
故选：D．
二．填空题
11．解：由题意得：AC＝150﹣60＝90（mm），BC＝180﹣60＝120（mm），
在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理，得：AB＝＝＝150（mm），
故答案为：150．
12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
13．解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝2（cm），
故答案为：2．
14．解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，．
则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
15．解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2﹣（x﹣3）2＝82，
故答案为：x﹣3；x2﹣（x﹣3）2＝82．
三．解答题
16．解：设筷子GE的长度是xcm，那么杯子的高度是（x﹣2）cm，
∵杯子的直径为12cm，
∴杯子半径为6cm，
∴（x﹣2）2+62＝x2，
即x2﹣4x+4+36＝x2，
解得：x＝10，
答：筷子GE的长度是10cm．
17．解：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝100≈173（米），
∴AB＝OA＝OB＝73米，
∴24（米/秒），
答：AB的距离为73米，此车的速度约为24米/秒．
18．解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），
∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝×＝（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝＝＝3（km），
即隧道AB的长度为3km．