2021—2022学年苏科版八年级数学上册2.5 第1课时 等腰三角形及其性质同步练习 （word版含答案）

2.5 第1课时 等腰三角形及其性质
一、选择题
1.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是 (　　)
A.底边的垂直平分线 B.过顶点的直线
C.腰上的高 D.底角的平分线
2.[2020·呼伦贝尔] 如图1,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是 (　　)
图1
A.25° B.20°
C.30° D.15°
3.如图2,在△ABC中,∠ABC=72°,D是边AC上一点,BC=BD=AD,则∠A的度数是 (　　)
图2
A.72° B.54°
C.38° D.36°
4.如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=58°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,连接OC,则∠AOC的度数为 (　　)
　图3
A.151° B.122°
C.118° D.120°
二、填空题
5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°,则该等腰三角形的一个底角的度数为　　　　　　　.?
6.[2019·成都] 如图4,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE.若BD=9,则CE的长为　　　　.?
图4
7.如图5,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE∥AB交AC于点E.若∠ADE=25°,则
∠BAC的度数为　　　　.
图5
8.[2019·毕节] 如图6,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC=　　　　°.?
图6
三、解答题
9.如图7,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,求∠DBA的度数.
图7
10.如图8,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,AD=AB,连接BD并延长,交AC的延长线于点E,求∠E的度数.
图8
11.如图9,AB=CD,AC=BD,AC,BD相交于点E,过点E作EF⊥BC于点F.求证:BF=CF.
图9
12. 问题:如图10,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
图10
(1)如图11(a),点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=88°,求∠A的度数.
(2)①如图11(b),∠MAN=11°,点B在AM上,且AB=1,按下列要求画图:以点B为圆心,1为半径向右画弧交AN于点B1,得第一条线段BB1;再以点B1为圆心,1为半径向右画弧交AM于点B2,得第二条线段B1B2……这样画下去,直到得到第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段,则n为多少?
②已知∠MAN,按照①的思路画图,现在一共最多可以画出6条线段,请你求出∠MAN的度数范围.
图11
答案
1.A
2.D　[解析] ∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=65°,∴∠A=180°-65°×2=50°.∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.故选D.
3.D　
4.B　[解析] 如图,连接BO,延长AO交BC于点E.
∵AB=AC,AO平分∠BAC,
∴AE⊥BC,AE平分BC.
∴OB=OC.
∵点O在AB的垂直平分线上,
∴AO=BO.
∴AO=CO.
则∠OCA=∠OAC=∠OAD=12×58°=29°.
∴∠AOC=180°-2×29°=122°.故选B.
5.57.5°或32.5°　[解析] (1)如图①所示,
∵∠ABD=25°,∠BDA=90°,
∴∠A=65°.
∵AB=AC,
∴∠C=(180°-65°)÷2=57.5°.
(2)如图②所示,
∵∠ABD=25°,∠BDA=90°,
∴∠BAD=65°.
∵AB=AC,
∴∠C=65°÷2=32.5°.
6.9　[解析] ∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BAD和△CAE中,
∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠B=∠C,
∴△BAD≌△CAE(ASA).
∴BD=CE=9.
故答案为9.
7.50°　[解析] ∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE=25°.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∴∠BAC=50°.
8.34　[解析] ∵∠B=40°,∠C=36°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°.
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=70°.
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.
9.解:∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,
∴∠A=∠C=35°.
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,
∴AD=BD.
∴∠DBA=∠A=35°.
10.解:∵AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=40°.
∵AD=AB,
∴∠BDA=12×(180°-40°)=70°,
∴∠E=∠BDA-∠CAD=70°-40°=30°.
11.证明:在△ABC和△DCB中,
AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ACB=∠DBC,
∴EB=EC.
又∵EF⊥BC,
∴BF=CF.
12.解:(1)∠DAC的度数不会改变.
理由:∵EA=EC,∴∠CAE=∠C,
∴∠AED=2∠C.
∵∠BAE=90°,
∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C.
又∵BA=BD,
∴∠BDA=∠BAD=12(180°-∠B)=12[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C.
∴∠DAC=∠BDA-∠C=45°.
(2)设∠B=m°,则∠BDA=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-m°.
∵EA=EC,
∴∠C=12∠AEB=90°-12n°-12m°,
∴∠DAC=∠BDA-∠C=90°-12m°-90°+12n°+12m°=12n°.
13.解:(1)∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠CDB,∠ECD=∠CED.
根据三角形外角的性质,可得∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM.
设∠A=x°,则∠CBD=∠CDB=(2x)°,∠ECD=∠CED=(3x)°,∠EDM=(4x)°.
又∵∠EDM=88°,∴4x=88.
∴x=22,即∠A=22°.
(2)①由题意可知,△ABB1,△BB1B2,△B1B2B3都是等腰三角形,第一个等腰三角形ABB1的底角为11°,由三角形外角的性质可以得到,第二个等腰三角形BB1B2的底角为22°,第三个等腰三角形B1B2B3的底角为33°,于是可得,第n个等腰三角形的底角为(11n)°,而等腰三角形的底角小于90°,当n=8时,底角为88°;当n=9时,底角为99°,所以n=8以后就不能再画出符合要求的线段了,故n=8.
②设∠MAN=α,同理可知:第一个等腰三角形的底角为α,第二个等腰三角形的底角为2α,第三个等腰三角形的底角为3α,于是可得,第六个等腰三角形的底角为6α,第七个等腰三角形的底角为7α,而等腰三角形的底角小于90°,
则6α<90°,7α≥90°,∴907°≤α<15°,
即∠MAN的度数范围是907°≤∠MAN<15°.