课时分层作业20 平面向量数量积的坐标表示-2021秋北师大版高中数学必修四练习(Word含答案解析)

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名称 课时分层作业20 平面向量数量积的坐标表示-2021秋北师大版高中数学必修四练习(Word含答案解析)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2021-07-20 09:36:29

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课时分层作业(二十) 平面向量数量积的坐标表示
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=(  )
A.-1   B.    C.-    D.1
2.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=(  )
A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)
3.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于(  )
A.- B. C. D.
4.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为(  )
A.- B. C. D.2
5.在?ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|=(  )
A.5 B.2 C.2 D.
二、填空题
6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________.
7.直线l1:x+2y-3=0和直线l2:x-3y+1=0的夹角θ=________.
8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为________.
三、解答题
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
10.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.
1.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 (  )
A.   B.2   C.5   D.10
2.已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于(  )
A.1 B.6 C.1或6 D.1或2或6
3.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.
4.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q的坐标为________.
5.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)求点D和向量的坐标;
(3)设∠ABC=θ,求cos θ.
课时分层作业(二十) 平面向量数量积的坐标表示
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=(  )
A.-1   B.    C.-    D.1
D [因为a·b=2-x=1,所以x=1.]
2.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=(  )
A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)
A [由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3.
∴|b|===3,∴λ=-3,即b=(-3,6).]
3.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于(  )
A.- B. C. D.
C [2a+b=2(1,2)+(1,-1)
=(2,4)+(1,-1)=(3,3),
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3).
设夹角为θ,则cos θ===.
又因为θ∈[0,π],所以θ=.]
4.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为(  )
A.- B. C. D.2
A [因为a+xb=(3,4)+(2x,-x)=(2x+3,4-x),-b=(-2,1).
因为a+xb与-b垂直,
所以(2x+3,4-x)·(-2,1)=-4x-6+4-x=0,
解得-5x=2,所以x=-.]
5.在?ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|=(  )
A.5 B.2 C.2 D.
D [设=a,=b,则a+b==(-4,2).b-a==(2,-6),所以b=(-1,-2),a=(-3,4),所以2+=2a+b=(-7,6),
所以|2+|==.]
二、填空题
6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________.
 [a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,得(3,3m)·(m+1,1)=0,即6m+3=0,所以m=-,所以a=(1,-1),|a|==.]
7.直线l1:x+2y-3=0和直线l2:x-3y+1=0的夹角θ=________.
45° [任取l1和l2的方向向量分别为
m=和n=,
设m和n的夹角为α,
则cos α==,
∴α=45°,∴θ=45°.]
8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为________.
 [a在b方向上的射影为==.]
三、解答题
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
[解] (1)∵a⊥b,
∴a·b=0,即1×(2x+3)+x×(-x)=0,
解得x=-1或x=3.
(2)∵a∥b,∴1×(-x)-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴a-b=(-2,0),
∴|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),
b=(-1,2),∴a-b=(2,-4),
∴|a-b|=2.
∴|a-b|=2或2.
10.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.
[解] ∵a=(1,-1),b=(λ,1),
∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1.
∵a,b的夹角α为钝角.


∴λ<1且λ≠-1.
∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
1.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 (  )
A.   B.2   C.5   D.10
C [因为·=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以⊥,所以S四边形ABCD=||·||=××2=5.]
2.已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于(  )
A.1 B.6 C.1或6 D.1或2或6
C [=-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若∠A为直角,则·=4k-4=0,所以k=1.
若∠B为直角,则·=(-4,-2)·(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.
若∠C为直角,则·=0,即(-k,2)·(4-k,4)=0,方程无解,综上知k的值为1或6.]
3.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.
-2 [法一:a+b=(m+1,3),
又|a+b|2=|a|2+|b|2.
∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2,
得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.]
4.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q的坐标为________.
(-2,1) [设q=(x,y),则p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).
∴∴]
5.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)求点D和向量的坐标;
(3)设∠ABC=θ,求cos θ.
[解] (1)证明:=(-1-2,-2-4)=(-3,-6),
=(4-2,3-4)=(2,-1).
∵·=-3×2+(-1)×(-6)=0,
∴⊥,即AB⊥AC.
(2)设D点坐标为(x,y),则=(x-2,y-4),
=(5,5).
∵AD⊥BC,
∴·=5(x-2)+5(y-4)=0. ①
又=(x+1,y+2),
而与共线,
∴5(x+1)=5(y+2), ②
由①②解得x=,y=,
故D点坐标为,
∴==.
(3)=(3,6),=(5,5),
cos θ==
=.