课时分层作业21　向量应用举例-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

课时分层作业(二十一)　向量应用举例
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为(　　)
A．v1－v2　　　 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
2．若OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0，5)　　B．25 C．2　　D．5
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值为(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．－1或2
4．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．三条中线交点 B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点 D．三条角平分线交点
5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若⊥，则＝(　　)
A． B．2
C．3 D．2
二、填空题
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(－1，1)，则3秒后点P的坐标为________.
7．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________．
三、解答题
9．过点A(－2，1)，求：
(1)与向量a＝(3，1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1，2)垂直的直线方程．
10．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
1．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2 B．
C．－3 D．－
2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
5．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，当⊥P0Q0时所需的时间t为多少秒？
课时分层作业(二十一)　向量应用举例
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为(　　)
A．v1－v2　　　 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
C　[根据速度的合成可知．]
2．若OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0，5)　　B．25 C．2　　D．5
D　[因为F1＋F2＝(0，5)，
所以|F1＋F2|＝＝5.]
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值为(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．－1或2
D　[l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m，1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.]
4．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．三条中线交点 B．三条高线交点
C．三条边的中垂线交点 D．三条角平分线交点
B　[∵·＝·，
∴(－)·＝·＝0，
∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴点O是三条高线交点．]
5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若⊥，则＝(　　)
A． B．2
C．3 D．2
B　[如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，E(2，0).
设AD＝m.
则D(0，m)，C(4，m).
∵⊥，∴·＝0，
而＝(2，－m)，＝(4，m)，
∴8－m2＝0，即m2＝8，
∴||＝＝＝2.]
二、填空题
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(－1，1)，则3秒后点P的坐标为________.
(5，－8)　[设点A(－1，1)，3秒后点P运动到B点，
则＝3v，所以－＝3v，
所以＝＋3v＝(－1，1)＋3(2，－3)＝(5，－8).]
7．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.
2　[设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.
因为v⊥v1，所以v·v1＝0，
所以|v2|＝|v－v1|＝)
＝＝＝2.]
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________．
－　[选，为基底，则＝－＋，
＝－＋，
∴·＝·
＝－2－2＋·
＝－－＋×1×1×cos 60°
＝－.]
三、解答题
9．过点A(－2，1)，求：
(1)与向量a＝(3，1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1，2)垂直的直线方程．
[解]　设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2，1)，∴＝(x＋2，y－1).
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
10．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
[解]　如图，建立平面直角坐标系，则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)，设P(0，y)，
∴＝(1，3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos 45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
1．已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2 B．
C．－3 D．－
C　[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.]
2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B　[∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
　[＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)··＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.]
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
2　[∵O是BC的中点，
∴＝(＋).
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.]
5．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，当⊥P0Q0时所需的时间t为多少秒？
[解]　∵e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
∴e1＋e2＝(1，1)，3e1＋2e2＝(3，2).
结合物理学中速度的合成与分解的关系，易知t秒后点P的坐标为( t－1，t＋2)，点Q的坐标为(3t－2，2t－1)，
∴＝(2t－1，t－3).
又P0Q0＝(－1，－3)，由⊥P0Q0可知·P0Q0＝0.
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
故当⊥P0Q0时，所需时间t为2 s.