课时分层作业19 从力做的功到向量的数量积-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 课时分层作业19 从力做的功到向量的数量积-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 159.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-20 09:37:20 | ||
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文档简介
课时分层作业(十九) 从力做的功到向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1 B．13 C．2 D．3
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____________．
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
三、解答题
9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________．
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
课时分层作业(十九) 从力做的功到向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2 cos2θ≠a2·b2，选C.]
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1 B．13 C．2 D．3
B [∵|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，
∴|2a－b|＝13.]
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.]
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B． C． D．
D [设||＝x，则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos ∠ADB＝x·1·
＝.]
二、填空题
6．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____________．
[设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos 〈a，c〉＝＝.]
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
[由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.]
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
－8或5 [由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]
三、解答题
9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
[解] 由向量垂直得
即
化简得
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
[解] (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos θ＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.]
2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
A [因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，
所以a·b＝0，
所以|a－b|＝
＝＝，
所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|
＝－1.]
3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
2 [b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]
4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________．
[因为四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，所以∠DCB＝60°，所以|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋2×1×1 cos ∠DCB＝3，所以|＋|＝.]
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1 B．13 C．2 D．3
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____________．
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
三、解答题
9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________．
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
课时分层作业(十九) 从力做的功到向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2 cos2θ≠a2·b2，选C.]
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1 B．13 C．2 D．3
B [∵|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，
∴|2a－b|＝13.]
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.]
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B． C． D．
D [设||＝x，则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos ∠ADB＝x·1·
＝.]
二、填空题
6．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝____________．
[设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos 〈a，c〉＝＝.]
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
[由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.]
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
－8或5 [由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]
三、解答题
9．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
[解] 由向量垂直得
即
化简得
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．
[解] (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos θ＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为.
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.]
2．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( )
A．－1 B．1 C．＋1 D．
A [因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b，
所以a·b＝0，
所以|a－b|＝
＝＝，
所以|a－b－c|≥|a－b|－|c|
＝－1.]
3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
2 [b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]
4．若四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________．
[因为四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，所以∠DCB＝60°，所以|＋|2＝||2＋||2＋2·＝12＋12＋2×1×1 cos ∠DCB＝3，所以|＋|＝.]
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．