课时分层作业23　两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

课时分层作业(二十三)　两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设α∈，若sin α＝，则cos 等于(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C．－ D．－
2．化简sin (x＋y)sin (x－y)－cos (x＋y)cos (x－y)的结果为(　　)
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
3．若锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
5．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin 等于(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
6．化简sin ＋cos 的结果是________．
7．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
8．若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos (α－β)＝________．
三、解答题
9．已知α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
10．已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
1．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则||等于(　　)
A． B．
C． D．1
3．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
4．若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．
5．已知函数f(x)＝A sin ，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
课时分层作业(二十三)　两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设α∈，若sin α＝，则cos 等于(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C．－ D．－
A　[cos ＝＝cos α＋sin α＝＋＝.]
2．化简sin (x＋y)sin (x－y)－cos (x＋y)cos (x－y)的结果为(　　)
A．sin 2x B．cos 2x
C．－cos 2x D．－sin 2x
C　[原式＝－cos [(x＋y)＋(x－y)]＝－cos 2x，故选C.]
3．若锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A． B．
C． D．
C　[∵cos α＝，cos (α＋β)＝，α、β∈，
∴sin α＝，sin (α＋β)＝.
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－×＝.]
4．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
D　[sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，由sin A＝2sin B cos C，得cos B sin C＝sin B cos C，所以cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即sin (C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．]
5．已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin 等于(　　)
A． B．
C． D．
B　[＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα
＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，
∴3(sin α＋cos α)＝2，
∴3sin ＝2，
∴sin ＝.]
二、填空题
6．化简sin ＋cos 的结果是________．
cos α　[原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos α.]
7．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
　[原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos (α－β)＝.]
8．若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos (α－β)＝________．
　[由已知得cos α－cos β＝， ①
sin α－sin β＝－. ②
①2＋②2得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋，
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
所以cos (α－β)＝.]
三、解答题
9．已知α∈，β∈，且cos (α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
[解]　因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π).
因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin (α－β)cos β＋cos (α－β)sin β
＝×＋×＝.
10．已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
[解]　因为0＜α＜，cos α＝，所以sin α＝，
又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，
因为sin (α＋β)＝＜sin α，所以cos (α＋β)＝－，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－＝，
又因为0＜β＜，所以β＝.
1．若x∈[0，π]，sin sin ＝cos cos ，则x的值是(　　)
A． B．
C． D．
D　[由已知得，cos cos －sin sin ＝cos x＝0.
∴x∈[0，π]，∴x＝.]
2．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则||等于(　　)
A． B．
C． D．1
D　[||＝
＝
＝
＝＝1.]
3．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
－　[∵sin α＋cos β＝1， ①
cos α＋sin β＝0， ②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin (α＋β)＝－.]
4．若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．
　[sin (α－β)＝－.sin 2α＝，
∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]
＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)
＝×＋×
＝－，
∵α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.]
5．已知函数f(x)＝A sin ，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[解]　(1)f＝A sin ＝A sin ＝A＝，所以A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)
＝3sin －3sin
＝3
－
＝6sin θcos ＝3sin θ＝，
所以sin θ＝.又因为θ∈，
所以cos θ＝＝＝，
所以f＝3sin
＝3sin
＝3cos θ＝.