课时分层作业26　半角的正弦、余弦和正切-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

课时分层作业(二十六)　半角的正弦、余弦和正切
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A． B．
C． D．
4．化简等于(　　)
A．－cos1 B．cos 1
C．cos 1 D．－cos 1
5．已知450°＜α＜540°，则的值是(　　)
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
二、填空题
6．已知sin －cos ＝－，且α∈，则tan ＝________．
7．函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是________.
8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A＝________．
三、解答题
9．已知sinφ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin ；(2)sin 2φ；(3)cos ；(4)tan .
10．已知函数f(x)＝4cos x sin －1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
1．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有(　　)
A．cC．a2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
3．若f(x)＝cos 2x－2a(1＋cos x)的最小值为－，则a＝________．
4．函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin 2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，].
其中正确命题的序号是________．
5．已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
课时分层作业(二十六)　半角的正弦、余弦和正切
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各式与tan α相等的是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
D　[＝＝＝tan α.]
2．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　C
3．使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
A． B．
C． D．
D　[f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)
＝2sin .
当θ＝π时，f(x)＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x.]
4．化简等于(　　)
A．－cos1 B．cos 1
C．cos 1 D．－cos 1
C　[原式＝＝＝cos1，故选C.]
5．已知450°＜α＜540°，则的值是(　　)
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
A　[因为450°＜α＜540°，
所以225°＜＜270°.
所以cos α＜0，sin ＜0.
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin .故选A.]
二、填空题
6．已知sin －cos ＝－，且α∈，则tan ＝________．
2　[由条件知∈，
∴tan >0.由sin －cos ＝－，
∴1－sin α＝.
∴sin α＝，cos α＝－，tan ＝＝2.]
7．函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是________.
π　[∵f(x)＝sin2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin －，
∴T＝＝π.]
8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A＝________．
－　[sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1
＝－.]
三、解答题
9．已知sinφ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin ；(2)sin 2φ；(3)cos ；(4)tan .
[解]　因为φ是第三象限角，
所以cos φ＝－＝－.
(1)sin＝sin φcos ＋cos φsin ＝－.
(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝.
(3)因为φ是第三象限角，所以2kπ＋π＜φ＜2kπ＋.
所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z).
当k＝2m时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，
cos ＝－＝－.
当k＝2m＋1时，2mπ＋＜＜2mπ＋(m∈Z)，
cos ＝＝.
(4)tan ＝＝－.
10．已知函数f(x)＝4cos x sin －1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解]　(1)f(x)＝4cos x sin －1
＝4cos x－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos 2x
＝2sin ，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1.
1．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有(　　)
A．cC．aC　[a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin (30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
∵y＝sin x在[0°，90°]上是递增的．
∴a2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
A　[∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝
＝·
＝＝＝－.]
3．若f(x)＝cos 2x－2a(1＋cos x)的最小值为－，则a＝________．
－2＋　[f(x)＝cos 2x－2a cos x－2a＝2cos2x－2a cosx－2a－1，令t＝cos x．则－1≤t≤1，函数f(x)可转化为y＝2t2－2at－2a－1＝2－－2a－1，
当>1，即a>2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；
当<－1，即a<－2时， 当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1≠－，不符合题意，舍去；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，
解得a＝－2±，
因为－2≤a≤2，所以a＝－2＋.
综上所述，a＝－2＋.]
4．函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin 2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，].
其中正确命题的序号是________．
①②　[f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin .
f(x)在上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，
y＝sin 2x向左平移个单位长度可得f(x)的图像，故③错．
当x∈时，2x＋∈，则f(x)∈[－1，]，故④错．]
5．已知函数f(x)＝sin ＋sin ＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)＝sin2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x·
cos －cos 2x sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin .
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．
又f＝－1，f＝，f＝1，
故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.