章末综合测评2　平面向量-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

章末综合测评(二)　平面向量
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝(3，0)，那么||等于(　　)
A．2　　 B．3
C．(1，2) D．5
2．若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2，3) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(2，－3)
3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．－ B．
C．6 D．2
4．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
5．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)
A．－a2 B．－a2
C．a2 D．a2
7．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列选项错误的是(　　)
A．的坐标表示为(2，0) B．＝－3
C．的坐标表示为(4，0) D．＝2
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A．　　　　B． C．1　　　　D．2
9．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列选项正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于(　　)
A．θ－ B．＋θ
C．－θ D．θ
11．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)
A．重心，外心 B．重心，内心
C．外心，重心 D．外心，内心
12.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则(＋)·的最小值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D. －2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知向量⊥，||＝3，则·＝________．
14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．
15．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
16．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：AC⊥BC.
18．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3).
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
19．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2，1)，A(1，0)，B(cos θ，t).
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．
21．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(k sin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且t sin θ取最大值4时，求·.
章末综合测评(二)　平面向量
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝(3，0)，那么||等于(　　)
A．2　　 B．3
C．(1，2) D．5
B　[∵＝(3，0)，∴||＝＝3.故选B.]
2．若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2，3) B．(0，1)
C．(－1，2) D．(2，－3)
D　[＝(－1，2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).]
3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．－ B．
C．6 D．2
C　[∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，
∴6－k＝0，解得k＝6，故选C.]
4．在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
B　[设a＝k1e1＋k2e2，
A选项，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴无解，
B选项，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)，
∴解得
故B中的e1，e2可把a表示出来．
同理，C、D选项同A选项，无解．]
5．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
D　[这四个向量的模相等．]
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)
A．－a2 B．－a2
C．a2 D．a2
D　[·＝·＝a·a cos 30°＝a2，故选D.]
7．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列选项错误的是(　　)
A．的坐标表示为(2，0) B．＝－3
C．的坐标表示为(4，0) D．＝2
C　[选项C不正确．故选C.]
8．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A．　　　　B． C．1　　　　D．2
B　[a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.]
9．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列选项正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.
又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]
10．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，其中θ∈，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于(　　)
A．θ－ B．＋θ
C．－θ D．θ
C　[设a与b的夹角为α，a·b＝cos θ·0＋sin θ·(－1)＝－sin θ，|a|＝1，|b|＝1，所以cos α＝＝－sin θ＝cos ，因为θ∈，α∈[0，π]，
y＝cos x在[0，π]上是递减的，所以α＝－θ，故选C.]
11．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的(　　)
A．重心，外心 B．重心，内心
C．外心，重心 D．外心，内心
C　[由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＝＋，取BC边的中点D(图略)，则＝＋＝2，知A、N、D三点共线，且AN＝2ND，故点N是△ABC的重心．]
12.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则(＋)·的最小值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D. －2
D　[由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，
且与反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)
＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·的最小值为－2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知向量⊥，||＝3，则·＝________．
9　[因为⊥，所以·＝·(－)＝·－OA2＝0，所以·＝OA2＝||2＝9，即·＝9.]
14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．
135°　[如图，为水速，是船行驶路程最短的情形，是船行驶的速度，易知∠AOB＝135°.]
15．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
　[＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.]
16．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
　[c＝(1＋λ，3＋λ)，∵a，c夹角为锐角，
∴0∵cos 〈a，c〉＝＝＝，
∴0<<1，
∴0<10＋4λ<，
∴λ>－，且λ≠0，
∴实数λ的取值范围是.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：AC⊥BC.
[证明]　以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD＝1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，
所以＝(－1，1)，＝(1，1)，·＝－1×1＋1×1＝0，
所以⊥，即AC⊥BC.
18．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3).
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
[解]　(1)当m＝8时，＝(8，3)，设＝x＋y，则
(8，3)＝x(2，－1)＋y(3，0)＝(2x＋3y，－x)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，
所以，不共线，
＝(1，1)，＝(m－2，4)，
所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
19．(本小题满分12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解]　(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝，
∴b2＝，∴|b|＝.
(2)∵a·b＝－，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－＝，
|a＋2b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2，1)，A(1，0)，B(cos θ，t).
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．
[解]　(1)∵＝(cos θ－1，t)，
又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t. ①
又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5. ②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1).
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cosθ＋
＝cos2θ－cosθ＋
＝＋
＝－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.
21．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[解]　(1)延长AD到G，使＝，
连接BG，CG(图略)，得到平行四边形ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(k sin θ，t).
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且t sin θ取最大值4时，求·.
[解]　(1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24，8)或＝(－8，－8).
(2)由题设知＝(k sin θ－8，t)，
∵与a共线，∴t＝－2k sin θ＋16，
t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k＋.
∵k>4，∴0<<1，∴当sin θ＝时，t sin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8).
∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.