章末综合测评1　三角函数-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

章末综合测评(一)　三角函数
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
2．tan 150°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A.2，－2 B．1，－3
C.1，－1 D．2，－1
5．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B．±
C.－ D．－
6．已知tan α＝3，则sin αcos α＝(　　)
A. B．
C. D．
7．已知函数f(x)＝3sin，则下列不等式中正确的是(　　)
A.f(1)B.f(2)C.f(3)D.f(2)8．要得到函数f(x)＝cos 的图像，只需将函数g(x)＝sin 的图像(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
9．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin α的值是(　　)
A. B．
C. D．
10．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A.f(cos α)＞f(cos β)
B.f(sin α)＞f(sin β)
C.f(sin α)＞f(cos β)
D.f(sin α)＜f(cos β)
11．将函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为(　　)
A.4　　　　B．6 C．8　　　　D．12
12．已知函数f(x)＝下列说法正确的是(　　)
A.该函数值域为[－1，1]
B.当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取最大值1
C.该函数是以π为最小正周期的周期函数
D.当π＋2kπ二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝sin 的最小正周期为________．
14．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2.
15．函数y＝1＋的定义域为________．
16．给出下列命题：
①函数y＝cos 是奇函数；
②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α③y＝2sin x在区间上的最小值是－2，最大值是；
④x＝是函数y＝sin 的一条对称轴．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，).求：
(1)sin (π－x)－sin 的值；
(2)写出角x的集合S.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin ＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
20．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
21．(本小题满分12分)函数f1(x)＝A sin (ωx＋φ)的一段图像过点(0，1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位长度，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
章末综合测评(一)　三角函数
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
C　[与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.]
2．tan 150°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
B　[tan 150°＝－tan 30°＝－.故选B.]
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
D　[由题意，根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D.]
4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A.2，－2 B．1，－3
C.1，－1 D．2，－1
B　[∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B.]
5．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B．±
C.－ D．－
C　[∵cos α＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第二象限角，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.]
6．已知tan α＝3，则sin αcos α＝(　　)
A. B．
C. D．
A　[∵tan α＝3，∴sin αcos α＝＝＝.]
7．已知函数f(x)＝3sin，则下列不等式中正确的是(　　)
A.f(1)B.f(2)C.f(3)D.f(2)B　[∵f(x)＝3sin ，
∴f(1)＝3sin ＝，
f(2)＝3sin ＝－3sin ＝－，
f(3)＝3sin ＝－3cos ＝－.
∴f(2)8．要得到函数f(x)＝cos 的图像，只需将函数g(x)＝sin 的图像(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
C　[因为函数f(x)＝cos ＝sin
＝sin ，所以将函数g(x)＝sin 的图像向左平移个单位长度，
即可得到函数y＝sin ＝sin 的图像．故应选C.]
9．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin α的值是(　　)
A. B．
C. D．
C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝.]
10．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A.f(cos α)＞f(cos β)
B.f(sin α)＞f(sin β)
C.f(sin α)＞f(cos β)
D.f(sin α)＜f(cos β)
D　[由已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，知函数f(x)在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞且0＜α＜，0＜β＜，则＞α＞－β＞0，所以sin α＞sin ，即sin α＞cos β，又0＜sin α＜1，0＜cos β＜1，所以f(sin α)＜f(cos β)成立，选D.]
11．将函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为(　　)
A.4　　　　B．6 C．8　　　　D．12
B　[将函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度后所得图像的解析式为y＝2sin ＝2sin ，而平移后所得图像与原图像重合，所以＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝4k(k∈Z)，所以ω的值不可能等于6，故选B.]
12．已知函数f(x)＝下列说法正确的是(　　)
A.该函数值域为[－1，1]
B.当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取最大值1
C.该函数是以π为最小正周期的周期函数
D.当π＋2kπD　[画出函数y＝f(x)图像如图：
由图像可知，值域为，A错；当x＝2kπ或x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值为1，B错；周期T＝－＝2π，C错．故选D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝sin 的最小正周期为________．
π　[由题意知，ω＝2，所以f(x)＝sin 的最小正周期为T＝＝π.]
14．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2.
　[根据题意得：S扇形＝＝＝(cm2).]
15．函数y＝1＋的定义域为________．
　[由cos x－≥0，得cos x≥，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数y＝1＋的定义域为
.]
16．给出下列命题：
①函数y＝cos 是奇函数；
②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α③y＝2sin x在区间上的最小值是－2，最大值是；
④x＝是函数y＝sin 的一条对称轴．
其中正确命题的序号是________．
①④　[①函数y＝cos ＝－sin x是奇函数，正确；
②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；
③y＝2sin x在区间上的最小值是－2，最大值是2，不正确；
④sin ＝sin ＝－1.正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，).求：
(1)sin (π－x)－sin 的值；
(2)写出角x的集合S.
[解]　∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2，
∴sin x＝，cos x＝.
(1)原式＝sin x－cos x＝.
(2)由sin x＝，cos x＝.
若x∈[0，2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin ＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
[解]　(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为(k∈Z).
(2)变换情况如下：
y＝sin 2xy＝sin
y＝sin ＋.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
[解]　(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，
所以sin ＝±1.
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.
因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知y＝sin ，列表如下：
x 0



π
y － －1 0 1 0 －
描点连线，可得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．
20．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
[解]　(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin ＋1.
(2)∵f＝2sin ＋1＝2，
∴sin ＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
21．(本小题满分12分)函数f1(x)＝A sin (ωx＋φ)的一段图像过点(0，1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位长度，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
[解]　(1)由题图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝A sin 2x的图像向左平移，得y＝A sin (2x＋φ)的图像，于是φ＝2·＝.
将(0，1)代入y＝A sin ，得A＝2.
故f1(x)＝2sin .
(2)依题意，f2(x)＝2sin
＝－2cos ，
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2，
x的取值集合为.
22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C，所以最大温差为30 °C－10°C＝20°C.
(2)令10sin ＋20＝15，可得
sin ＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin ＋20＝25，
可得sin ＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时).