章末综合测评3　三角恒等变形-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

章末综合测评(三)　三角恒等变形
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin ＝，则sin (－2α)的值为(　　)
A．　 B．－
C． D．－
2．化简：＝(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
3．函数f(x)＝3cos x－sin x的图像的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，则cos 2α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
5．已知0A． B．
C． D．
6．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
7．已知sin 2α＝，tan (α－β)＝，则tan (α＋β)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．
8．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆x2＋y2＝1交点的横坐标为，则cos 等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
9．在△ABC中，已知tan ＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos
＝，则cos 等于(　　)
A． B．－
C． D．－
11．已知函数f(x)＝cos sin x，则函数f(x)满足(　　)
A．最小正周期为T＝2π
B．图像关于点对称
C．在区间上为减函数
D．图像关于直线x＝对称
12．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．
14．已知tan α＝，tan (α－β)＝，则tan (2α－β)＝________．
15．若sin (π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2的值等于________．
16.＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
18．(本小题满分12分)(1)化简：；
(2)已知：tanα＝3，求的值．
19．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos 2α＋sin 的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin ωx－sin2＋(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A cos ，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan (α＋β)的值．
22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α).
(1)若(＋)2＝7(O为原点)，求向量与夹角的大小；
(2)若⊥，求sin 2α的值．
章末综合测评(三)　三角恒等变形
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin ＝，则sin (－2α)的值为(　　)
A．　 B．－
C． D．－
B　[∵sin ＝＝sin α＋cos α，
∴sin α＋cos α＝，
∴等式两边平方可得：1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝，
∴sin (－2α)＝－sin 2α＝－.故选B.]
2．化简：＝(　　)
A．2cos α B．2cos α
C．2sin α D．sin α
A　[原式＝＝2cos α.]
3．函数f(x)＝3cos x－sin x的图像的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
A　[∵f(x)＝3cos x－sin x＝2＝2cos ，
∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程．故选A.]
4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，则cos 2α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
A　[向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，可得tan αcos α＝，即sin α＝.所以cos 2α＝1－2sin2α＝，故选A.]
5．已知0A． B．
C． D．
D　[∵00，∵cos 2A＝＝2cos2A－1，
整理可得：cos2A＝，∴cosA＝.故选D.]
6．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cosα＝，所以2sinα＝1－sin2α，解得sinα＝，故选B.]
7．已知sin 2α＝，tan (α－β)＝，则tan (α＋β)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．
A　[∵<2α<π，∴cos 2α＝－.
∴tan 2α＝＝－，
tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]
＝
＝＝－2.]
8．在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆x2＋y2＝1交点的横坐标为，则cos 等于(　　)
A． B．－
C．－ D．
A　[由题意，得cos α＝，又α为锐角，则cos ＝
＝＝.]
9．在△ABC中，已知tan ＝sin C，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C　[在△ABC中，tan ＝sin C＝sin (A＋B)＝2sin cos ，
所以2cos2＝1，所以cos(A＋B)＝0.
从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．]
10．若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos
＝，则cos 等于(　　)
A． B．－
C． D．－
C　[因为0＜α＜，所以＜α＋＜，
得sin ＝＝；
因为－＜β＜0，所以＜－＜，
得sin＝＝.
则cos＝cos
＝cos cos ＋sin ·
sin ＝×＋×＝.]
11．已知函数f(x)＝cos sin x，则函数f(x)满足(　　)
A．最小正周期为T＝2π
B．图像关于点对称
C．在区间上为减函数
D．图像关于直线x＝对称
D　[因为f(x)＝cos sin x＝(sin x·cos x－sin2x)＝(sin2x－1＋cos 2x)＝sin －，当x＝时取最大值，故x＝是对称轴，应选D.]
12．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　)
A． B．
C． D．
D　[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin (α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos (α－β)＝＝，而cosα＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝.故β＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．
0　[cos 89° cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]
14．已知tan α＝，tan (α－β)＝，则tan (2α－β)＝________．
　[∵tan α＝，tan (α－β)＝，则tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝.]
15．若sin (π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2的值等于________．
　[∵sin(π－α)＝，∴sin α＝.
又∵α∈，∴cos α＝＝，
因此，sin2α－cos2＝2sinαcos α－(1＋cos α)
＝2××－×
＝－＝.]
16.＝________．
－4　[原式＝
＝
＝
＝
＝＝－4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin αcos α＝.可知(cos α－sin α)2＝cos2α－2sinαcos α＋sin2α
＝1－2sinαcos α＝1－2×＝.
又因为＜α＜，所以cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0.
所以cos α－sin α＝－.
(3)因为α＝－＝－6×2π＋，
所以f＝cos sin
＝cos sin
＝cos ·sin
＝cos ·sin
＝cos ·
＝×＝－.
18．(本小题满分12分)(1)化简：；
(2)已知：tanα＝3，求的值．
[解]　(1)原式＝
＝＝
＝＝－1.
(2)原式＝＝＝＝9.
19．(本小题满分12分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求cos 2α＋sin 的值．
[解]　(1)因为0<α<，sin α＝，
所以cos α＝，
所以tan α＝.
(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：
cos 2α＋sin ＝1－2sin2α＋cosα＝1－＋＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin ωx－sin2＋(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝sinωx－＋＝sin ωx
＋ cos ωx＝sin .
因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin .
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调增区间为，
k∈Z.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以－≤sin ≤1.
所以函数f(x)在上的取值范围是.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A cos ，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan (α＋β)的值．
[解]　(1)f＝A cos
＝A cos ＝A＝，∴A＝2.
(2)∵f＝2cos
＝2cos ＝－2sin α＝－，
∴sin α＝.
∵f＝2cos
＝2cos β＝，
∴cos β＝.
∵α，β∈，
∴cos α＝＝，
sinβ＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－，
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
∴tan (α＋β)＝＝＝－.
22．(本小题满分12分)已知坐标平面上三点A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α).
(1)若(＋)2＝7(O为原点)，求向量与夹角的大小；
(2)若⊥，求sin 2α的值．
[解]　(1)∵＋＝(2＋cos α，sin α)，(＋)2＝7，
∴(2＋cos α)2＋sin2α＝7，
∴cosα＝.
又B(0，2)，C(cos α，sin α)，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝sin α＝±，
∴与的夹角为或.
(2)∵＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)，
⊥，∴·＝0，
即cos α＋sin α＝，
∴(cos α＋sin α)2＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.