课时分层作业18　平面向量的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 向量平行的坐标表示-2021秋北师大版高中数学必修四练习（Word含答案解析）

课时分层作业(十八)　平面向量的坐标
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是 (　　)
A．－2　　　　B．0 C．1　　　　D．2
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
二、填空题
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________．
7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.求证：∥.
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
1．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N等于(　　)
A．{(1，1)} B．{(1，1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
2．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d).设m＝(p，q)，若(1，2)?m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
5．已知向量u＝(x，y)和向量ν＝(y，2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).
课时分层作业(十八)　平面向量的坐标
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2)　　　　　　 B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
[答案]　D
2．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
A　[∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α.
∴tan α＝2.故选A.]
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
D　[由解得]
4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是 (　　)
A．－2　　　　B．0 C．1　　　　D．2
D　[a＋b＝(1，1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1，1)＝(6，4x－2)，
因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0.
即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2.]
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
D　[由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)，
4a＋(3b－2a)＝－c，
所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c，
所以c＝(4，－6).]
二、填空题
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________．
2　[因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，
所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3).
又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，
所以2×－3k＝0，解得k＝2.]
7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
(－1，－4)　[设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4).]
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
(－6，21)　[因为Q是AC的中点，所以＝＋.
所以＝2－＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7).
又因为＝2，
所以＝3＝3(－2，7)＝(－6，21).]
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.求证：∥.
[证明]　设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1).
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
∴＝.
∵×(－1)－4×＝0，
∴∥.
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
[解]　(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以所以B(3，1).
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
1．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N等于(　　)
A．{(1，1)} B．{(1，1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
C　[令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，
即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2).
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2).]
2．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
C　[设C点坐标(6，y)，则＝(－8，8)，＝(3，y＋6).
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
　[∵＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.]
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d).设m＝(p，q)，若(1，2)?m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．
(2，0)　[由(1，2)?m＝(5，0)，
可得解得
所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0).]
5．已知向量u＝(x，y)和向量ν＝(y，2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标；
(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).
[解]　(1)由条件可得u(x，y)ν(y，2y－x)，则f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5).
∴解得，即c＝(3，4).
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，
又λf(a)＝λ(y1，2y1－x1)＝(λy1，2λy1－λx1)，
μf(b)＝μ(y2，2y2－x2)＝(μy2，2μy2－μx2).
∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2).
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).