人教A版（2019）必修第一册学案
第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【学习目标】
1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)
2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)
3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象)
4．会求简单函数的定义域．(数学计算)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 函数的概念
定义
设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
__x__的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
知识点2 区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
__[a，b]__
{x|a＜x＜b}
开区间
__(a，b)__
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
__[a，b)__
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
__(a，b]__
(2)特殊区间的表示．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
预学自测：
1．区间[5,8)表示的集合是( C )
A．{x|x≤5或x>8}
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
[解析] 区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝( C )
A．3
B．7
C．11
D．25
[解析] f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．
3．(2019·江苏，4)函数y＝的定义域是__[－1,7]__.
[解析] 要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤7，
∴函数y＝的定义域是[－1,7]．
4．已知f(x)＝，g(x)＝－x2＋2.
(1)求f(3)，g(3)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]的解析式．
[解析] (1)f(3)＝＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7.
(2)f[g(2)]＝＝＝.
(3)f[g(x)]＝＝＝.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、函数概念的理解
例1
(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是( B )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( C )
[分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
[解析] (1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
[归纳提升] 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
【对点练习】?
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
探究二、求函数的定义域
例2
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝－.
[分析] →→
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x<0，且x≠－2.
故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即.
故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．
[归纳提升] 求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
【对点练习】?
(2020·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是( C )
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
[解析] 要使函数y＝有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．
探究三、求函数值
例3
(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)＝，x∈R.
(1)求f(2)，f()，f(3)，f()的值；
(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[分析] (1)将x＝2，，3，代入f(x)＝计算即可；
(2)由(1)中求得f(2)，f()，f(3)，f()的值可得f(2)＋f()与f(3)＋f()的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)知，
f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1.
∴f(a)＋f()＝＋＝＋·＝＋＝1，
∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()
＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2
018)＋f()
＝2
017.
[归纳提升] 解题时要注意审题，观察分析、发现规律．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝__－9__.
[解析] ＝＝＝－1，∴＝＝…＝＝－1，
又∵f(1)＝0，∴f(1)＋＋…＋＝－9.
【检测案】
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是( D )
[解析] 由函数的定义知A，B，C是函数，故选D．
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则( B )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝1，b＝1
[解析] 由f(1)＝－2得a＋b＝－2，
由f(－1)＝0得－a＋b＝0，
∴a＝－1，b＝－1，故选B．
3．用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为__(－∞，2]∪(3，＋∞)__.
4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝__或2__.
[解析] 由f(a)＝2得＝2，
∴a＝2或.
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【学习目标】
1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)
2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)
3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象)
4．会求简单函数的定义域．(数学计算)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 函数的概念
定义
设A、B是非空的__
__，如果对于集合A中的__
__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__
__的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
__
__的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.
思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
知识点2 区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
__
__
{x|a＜x＜b}
开区间
__
__
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
__
__
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
__
__
(2)特殊区间的表示．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？
预学自测：
1．区间[5,8)表示的集合是(
)
A．{x|x≤5或x>8}
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(
)
A．3
B．7
C．11
D．25
3．(2019·江苏，4)函数y＝的定义域是__
__.
4．已知f(x)＝，g(x)＝－x2＋2.
(1)求f(3)，g(3)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]的解析式．
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、函数概念的理解
例1
(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(
)
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(
)
【归纳提升】 函数的概念中需要注意的地方：
【对点练习】?
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
探究二、求函数的定义域
例2
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝－.
【归纳提升】 求函数的定义域方法：
【对点练习】?
(2020·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是(
)
A．[－1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
探究三、求函数值
例3
(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)＝，x∈R.
(1)求f(2)，f()，f(3)，f()的值；
(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2
018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝__
__.
【检测案】
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是(
)
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则(
)
A．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝1，b＝1
3．用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为__
__.
4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝_
__.
【课堂小结】