人教A版（2019）必修第一册学案
第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【学习目标】
1．理解同一个函数的概念．(数学抽象)
2．能判断两个函数是否是同一个函数．(逻辑推理)
3．会求简单函数的值域.（数学计算）
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 同一个函数
前提条件
__
__相同
__
__完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
知识点2 常见函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
a>0
a<0
对应关系
y＝ax＋b(a≠0)
y＝(k≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域
值域
思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(
)
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．(
)
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(
)
2．下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(
)
3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(
)
A．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(
)
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、同一函数
例1
判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝.
【归纳提升】 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
【对点练习】?
f(x)与g(x)表示同一函数的是(
)
A．f(x)＝x2，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝x－3
D．f(x)＝，g(x)＝
探究二、复合函数、抽象函数的定义域
例2
(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为____________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为__________.
【归纳提升】 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
【对点练习】?
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
探究三、函数的值域
1．分离常数法
例3
求函数y＝的值域．
【归纳提升】 如何求y＝这种类型的函数的值域
2．配方法
例4
求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．
【归纳提升】如何求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：
例5
求函数y＝x＋的值域．
【归纳提升】 如何求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域：
【检测案】
1．下列表格中的x与y能构成函数的是(
)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(
)
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为__________.
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为____.
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第三章
函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
【学习目标】
1．理解同一个函数的概念．(数学抽象)
2．能判断两个函数是否是同一个函数．(逻辑推理)
3．会求简单函数的值域.（数学计算）
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 同一个函数
前提条件
__定义域__相同
__对应关系__完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
知识点2 常见函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
__a>0__
__a<0__
对应关系
y＝ax＋b(a≠0)
y＝(k≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
{y|y≥}
{y|y≤}
思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？
提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．
当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( √ )
[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．
2．(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是( D )
[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．
3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )
A．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( D )
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、同一函数
例1
判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝.
[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．
(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．
(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．
【归纳提升】 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．
【对点练习】?
f(x)与g(x)表示同一函数的是( D )
A．f(x)＝x2，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝x－3
D．f(x)＝，g(x)＝
[解析] 对于A，g(x)＝＝|x|，与f(x)的解析式不同；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于D，f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)，解析式与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数．
探究二、复合函数、抽象函数的定义域
例2
(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为__(－1，)__.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为__(－1,5)__.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为__(0,6)__.
[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
[解析] (1)由－1<2x＋1<2，得－1(2)∵－1(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1【归纳提升】 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
【对点练习】?
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
[解析] (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
探究三、函数的值域
1．分离常数法
例3
求函数y＝的值域．
[分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析] ∵y＝＝＝3＋，
又∵≠0，∴y≠3.∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
【归纳提升】 求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
例4
求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．
[分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．
[解析] ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
【归纳提升】 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
例5
求函数y＝x＋的值域．
[分析] 忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
【归纳提升】 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
【检测案】
1．下列表格中的x与y能构成函数的是( C )
[解析] A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．
2．(2020·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是( A )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
[解析] 选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为__[－3,2]__.
[解析] 由题意得－2≤x＋1≤3，
∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为____.
[解析] ∵f(x)＝x2－x＋a＝(x－1)2＋a－，∴当x∈[1，b]时，f(x)min＝f(1)＝a－，f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a.又f(x)在[1，b]上的值域为[1，b]，
∴解得
∴a＋b＝＋3＝.
【课堂小结】
