2020-2021学年湖南省娄底市娄星区八年级（下）期末数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省娄底市娄星区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共12小题）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．，c＝2
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6
4．下列对于一次函数y＝﹣3x+2的描述错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象经过点（2，4）
C．图象与直线y＝3x相交
D．图象可由直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
6．点A（﹣2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
7．如图，若在某棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（2，﹣1），则“炮”位于点（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，2）
8．等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
9．如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（　　）
A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．如图，E、F分别是?ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正确的有（　　）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．已知正n边形的一个内角为140°，则n等于 　 　．
14．将一组有80个数据的样本分成6个组，第1～4组的频数分别是14，13，18，11，第5组的频率是0.2，则第6组的频数是 　 　．
15．若一次函数y＝kx﹣3（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是　 　．（写出一个即可）
16．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数是 　 　．
17．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是　 　cm2．
18．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，则顶点A2021的坐标是　 　．
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）请作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标；
（2）将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位，得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的顶点坐标，并作出该三角形．
20．如图，已知∠B＝∠ADC＝90°，DC＝7，AB＝20，BC＝15，求AD的长．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．某班进行了一次数学考试，将成绩绘制成了不完整的频数分布直方图和频数分布表：
成绩 频数（人数） 频率
50≤x＜60 4 0.08
60≤x＜70 8 0.16
70≤x＜80 20 0.4
80≤x＜90 a 0.3
90≤x＜100 3 b
（1）求频数分布表中a和b的值；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若成绩不低于80分为优秀，则该班本次数学考试的优秀率是多少？
22．某高铁修建过程中需要经过一座大山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D三点共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AB＝8km，求BD的长．（结果精确到0.1km，，）
五、应用题（每小题9分，共2小题，满分18分）
23．疫情期间，某企业为了保证能够尽快复工复产，准备为员工采购2000袋医用口罩．因为疫情期间口罩等物资紧缺，无法购买同型号的口罩，经市场调研，准备购买A、B、C三种型号的口罩，其单价（元/袋）分别为30、35、40，若购买B型口罩的数量是A型的2倍，设购买A型口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）已知口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少？并求最少总费用．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF的周长是14cm，AC的长为4cm，求四边形ADEF的面积．
六、综合与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣4，l1的表达式为，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．
（1）求点B的坐标和直线l2的表达式；
（2）若点M为直线l2上一点，且，求M的坐标．
26．如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG＝x，请用含x的代数式表示△FCG的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
y＝﹣8x，y＝x+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，
∴一次函数有①②⑤，
故选：C．
3．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．，c＝2
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝4，b＝5，c＝6
解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、（3x）2+（4x）2＝（5x）2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+42≠62，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列对于一次函数y＝﹣3x+2的描述错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象经过点（2，4）
C．图象与直线y＝3x相交
D．图象可由直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到
解：A、由于一次函数y＝﹣3x+2中的k＝﹣3＜0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意．
B、令x＝2，则y＝﹣6+2＝﹣4，即一次函数y＝﹣3x+2图象经过点（2，﹣4），故符合题意．
C、直线y＝﹣3x+2中的k＝﹣3，直线y＝3x中的k＝3，故两直线不平行，则相交，故不符合题意．
D、直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到y＝﹣3x+2，故不符合题意．
故选：B．
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
6．点A（﹣2，y1），B（3，y2）是一次函数y＝﹣2x+1图象上的两点，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
解：∵一次函数y＝﹣2x+1的图象y随着x的增大而减小，
又∵﹣2＜3
∴y1＞y2，
故选：A．
7．如图，若在某棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（2，﹣1），则“炮”位于点（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，2）
解：如图所示：“炮”位于点（﹣1，3）．
故选：B．
8．等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
解：如图，过点B作BE⊥AO于E，
∵点A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∵AB＝BO，∠ABO＝90°，
∴AE＝BE＝EO＝1，
∴点B（﹣1，1），
故选：A．
9．如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（　　）
A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8
解：此函数大致可分以下几个阶段：
①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；
②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；
③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；
④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；
⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；
综合上面的分析得：由③的过程知，a＝1.5﹣1＝0.5千米；
由②、④的过程知b＝（56﹣33）﹣（27﹣12）＝8分钟．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝2，
∴AE＝BE＝2AC＝4，
∴S△ABE＝BE?AC＝，
故选：A．
11．如图，E、F分别是?ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（　　）
A．40 B．45 C．50 D．55
解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝15，S△BQC＝25，
∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列四个结论：
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°；
③点D在AB的中垂线上；
④S△ACD：S△ACB＝1：3．
其中正确的有（　　）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④
解：根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝60°，故②正确；
∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∵AD＝DB，
∴CD＝DB，
∴CD＝CB，
S△ACD＝CD?AC，S△ACB＝CB?AC，
∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正确，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
13．已知正n边形的一个内角为140°，则n等于 　9　．
解：法一、由题意，得（n﹣2）×180＝140n，
解得n＝9．
故答案为：9．
法二、∵正n边形的一个内角为140°，其外角都为40°．
由于多边形的外角和为360°，
所以n为：360÷40＝9．
故答案为：9．
14．将一组有80个数据的样本分成6个组，第1～4组的频数分别是14，13，18，11，第5组的频率是0.2，则第6组的频数是 　8　．
解：∵第5组的频数为80×0.2＝16，
∴第6组的频数为80﹣（14+13+18+11+16）＝8，
故答案为：8．
15．若一次函数y＝kx﹣3（k为常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是　﹣1（答案不唯一）　．（写出一个即可）
解：因为一次函数y＝kx﹣3（k是常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限，
所以k＜0，﹣3＜0，
所以k可以取﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
16．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数是 　50°　．
解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠ABC＝25°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠ABC＝50°，
故答案是：50°．
17．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是　96　cm2．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝＝＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
18．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，则顶点A2021的坐标是　（﹣506，﹣506）　．
解：观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，
∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数），
∵2021＝505×4+1，
∴A2021（﹣506，﹣506）．
故答案为：（﹣506，﹣506）．
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）请作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标；
（2）将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位，得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的顶点坐标，并作出该三角形．
解：（1）△A1B1C1如图所示：
A1 （﹣1，0），B1 （﹣5，2）C1，（﹣3，4）；
（2）△A2B2C2如图所示：
A2 （﹣2，﹣5），B2 （2，﹣3），C2 （0，﹣1）．
20．如图，已知∠B＝∠ADC＝90°，DC＝7，AB＝20，BC＝15，求AD的长．
解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625，
在Rt△ADC中，DC＝7，
∴AD＝．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．某班进行了一次数学考试，将成绩绘制成了不完整的频数分布直方图和频数分布表：
成绩 频数（人数） 频率
50≤x＜60 4 0.08
60≤x＜70 8 0.16
70≤x＜80 20 0.4
80≤x＜90 a 0.3
90≤x＜100 3 b
（1）求频数分布表中a和b的值；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）若成绩不低于80分为优秀，则该班本次数学考试的优秀率是多少？
解：（1）某班的学生有：4÷0.08＝50（人），
a＝50×0.3＝15，b＝3÷50＝0.06，
答：频数分布表中a和b的值分别为15，0.06；
（2）补全频数分布直方图如图所示；
（3）成绩不低于80分的频率为0.3+0.06＝0.36，
∴该班本次数学考试的优秀率是0.36＝36%，
答：该班本次数学考试的优秀率是36%．
22．某高铁修建过程中需要经过一座大山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D三点共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AB＝8km，求BD的长．（结果精确到0.1km，，）
解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵∠EAB＝30°，AB＝8km，
∴BE＝，∠ABE＝60°．
又∵∠ABD＝105°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝45°．
∴Rt△BDE是等腰直角三角形．
∴BD＝
＝
＝4
＝5.656
≈5.7（km）．
答：BD长约为5.7km．
五、应用题（每小题9分，共2小题，满分18分）
23．疫情期间，某企业为了保证能够尽快复工复产，准备为员工采购2000袋医用口罩．因为疫情期间口罩等物资紧缺，无法购买同型号的口罩，经市场调研，准备购买A、B、C三种型号的口罩，其单价（元/袋）分别为30、35、40，若购买B型口罩的数量是A型的2倍，设购买A型口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）已知口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少？并求最少总费用．
解：（1）根据题意得购买B型口罩为2x袋，购买C型口罩（2000﹣x﹣2x）袋，
∴y＝30x+35×2x+40×（2000﹣x﹣2x）＝80000﹣20x；
（2）依题意，得：x≤2000﹣x﹣2x，
解得：x≤500．
∵k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝500时，y取得最小值，y最小＝80000﹣20×500＝70000（元）．
答：当购买A型口罩500袋时，购买口罩的总费用最少，最少总费用为70000元．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且，连接DE、AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF的周长是14cm，AC的长为4cm，求四边形ADEF的面积．
【解答】（1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
∵AD＝AC，
∴EF＝AD，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是14cm，
∴AD＝EF，AF＝DE，AD+AF＝7cm，
∵AC的长为4cm，
∴AD＝AC＝×4＝2（cm），
∴AF＝7﹣AD＝7﹣2＝5（cm），
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF＝＝＝3（cm），
∴四边形ADEF的面积＝AD?CF＝2×3＝6（cm2）．
六、综合与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣4，l1的表达式为，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．
（1）求点B的坐标和直线l2的表达式；
（2）若点M为直线l2上一点，且，求M的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝x+3＝3，
则A（0，3），
而点A与点B恰好关于x轴对称，
所以B点坐标为（0，﹣3）；
当x＝﹣4时，y＝x+3＝1，
则P（﹣4，1），
设直线l2的表达式为y＝kx+b，
把B（0，﹣3），P（﹣4，1）分别代入得，
解得，
所以直线l2的表达式为y＝﹣x﹣3；
（2）设M点的横坐标为t，则它的纵坐标为﹣t﹣3，
因为：S△PAB＝×[3﹣（﹣3）]×|﹣4|＝12，
S△MAB＝×[3﹣（﹣3）]×|t|＝3|t|，
，
所以有：3|t|＝×12，
解得：t＝2或﹣2，
所以M点的坐标为（2，﹣5）或（﹣2，﹣1）．
26．如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，连接CF．
（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG＝x，请用含x的代数式表示△FCG的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形EFGH为菱形，
∴EH＝HG，
在Rt△AHE和Rt△DGH中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，
又∵∠DGH+∠DHG＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
则∠GHE＝90°．
所以菱形EFGH为正方形；
（2）如图，过点F作FM⊥DC交DC所在直线于M，连接GE．
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE．
∴∠HEA＝∠FGM，
在△AHE和△MFG中，
，
∴△AHE≌△MFG（AAS）．
∴FM＝HA＝1．
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1，
∴S△FCG＝GC?FM＝（3﹣x）×1＝﹣x+（0≤x≤）．