2020-2021学年湖南省永州市宁远县八年级（下）期末数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省永州市宁远县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）.
1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（　　）
A．126° B．136° C．120° D．144°
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
5．一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（　　）
A．边角边 B．边边边 C．角角边 D．角边角
6．某班50名学生的身高被分为5组，第1～4组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是（　　）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
7．若k＞4，则一次函数y＝（4﹣k）x+k﹣4的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系内，将点M（3，1）先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则移动后的点的坐标是（　　）
A．（6，3） B．（6，﹣1） C．（0，3） D．（0，﹣1）
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．八年级某生物课外兴趣小组观察一植物生长，得到植物高度y（cm）与观察时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．该植物从观察时起60天以后停止长高
B．该植物最高长到16cm
C．该植物从观察时起50天内平均每天长高1cm
D．该植物最高长到18cm
二、填空题(每小题4分，共32分)
11．已知10个数据：0，1，1，2，2，2，3，3，3，8，其中3出现的频数是　 　．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　 　．
13．已知△ABC的周长是2，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2021个三角形周长是 　 　．
14．把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为　 　．
15．在正方形ABCD的内部作等边△MAB，连接MC、MD，则∠MDC＝　 　．
16．已知一次函数y＝﹣2x+1，若﹣2≤x≤1，则y的最小值为　 　．
17．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（不与点B、D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为 　 　．
18．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，所得图象对应的函数解析式是 　 　．
三．解答题（本大题8个小题，共78分，解答题要求写出说明步骤或解答过程）
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
20．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段 频数 频率
60≤x＜70 18 0.36
70≤x＜80 17 c
80≤x＜90 a 0.24
90≤x≤100 b 0.06
合计 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为　 　；样本成绩的中位数落在分数段　 　中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
21．甲、乙两个工程队同时开始维修某段路面，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的维修任务，已知甲队每小时维修路面的长度保持不变，乙队每小时维修路面50米，甲、乙两队在此路段的维修总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修长度为 　 　米；
（2）求甲队每小时维修路面多少米？
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：∠BCE＝∠DCF；
（2）点G在AD上，连接GE，GC，若GE＝GD+DF，求此时∠GCE的大小．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
24．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形．
25．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？
26．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）求证：四边形ECFG是菱形；
（2）连接BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？
（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共40分.将答案填在表格内）
1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵直角三角形斜边长为10，
∴斜边上的中线长为5．
故选：D．
2．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（　　）
A．126° B．136° C．120° D．144°
解：∵∠1＝36°，
∴∠3＝90°﹣36°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠3＝54°，
∴∠2＝180°﹣54°＝126°，
故选：A．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
4．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
解：∵平行四边形两个内角的度数比为1：2，
∴设较大内角为2x，较小内角为x，
∴2x+x＝180°，
∴x＝60°，
∴2x＝120°，
故选：C．
5．一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（　　）
A．边角边 B．边边边 C．角角边 D．角边角
解：如图所示：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，
射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故选：B．
6．某班50名学生的身高被分为5组，第1～4组的频数分别为7、12、13、8，则第5组的频率是（　　）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
解：∵某班50名学生的身高被分为5组，第1～4组的频数分别为7、12、13、8，
∴第5组的频数是：50﹣7﹣12﹣13﹣8＝10，
故第5组的频率是：＝0.2．
故选：C．
7．若k＞4，则一次函数y＝（4﹣k）x+k﹣4的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵k＞4，
∴4﹣k＜0，k﹣4＞0，
∴一次函数y＝（4﹣k）x+k﹣4的图象经过第一、二、四象限，
故选：D．
8．在平面直角坐标系内，将点M（3，1）先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则移动后的点的坐标是（　　）
A．（6，3） B．（6，﹣1） C．（0，3） D．（0，﹣1）
解：3+3＝6，
1+2＝3．
故点M平移后的坐标为（6，3）．
故选：A．
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（ ）2×2﹣2＝；
第三个矩形的面积是（ ）2×3﹣2＝；
…
故第n个矩形的面积为：（ ）2n﹣2＝（）n﹣1＝．
故选：B．
10．八年级某生物课外兴趣小组观察一植物生长，得到植物高度y（cm）与观察时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．该植物从观察时起60天以后停止长高
B．该植物最高长到16cm
C．该植物从观察时起50天内平均每天长高1cm
D．该植物最高长到18cm
解：由图象可知从第50天开始植物的高度不变，故A说法错误；
设0≤x≤50时的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴，
解得．
所以，解析式为y＝x+6（0≤x≤50），
当x＝50时，y＝×50+6＝16cm，故B说法正确，D说法错误；
平均每天长高（16﹣6）÷50＝（cm），故C说法错误；
故选：B．
二、填空题(每小题4分，共32分)
11．已知10个数据：0，1，1，2，2，2，3，3，3，8，其中3出现的频数是　3　．
解：10个数据：0，1，1，2，2，2，3，3，3，8，其中3出现了3次，
故3出现的频数是3．
故答案为：3．
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
13．已知△ABC的周长是2，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2021个三角形周长是 　　．
解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∵△ABC的周长是2，
∴AB+AC+BC＝2，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝×（AB+AC+BC）＝1＝2×，
同理可得：第三个三角形的周长＝2×，
……
则第2021个三角形周长＝2×＝，
故答案为：．
14．把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为　y＝﹣x+1　．
解：把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）﹣1，即y＝﹣x+1．
故答案为y＝﹣x+1．
15．在正方形ABCD的内部作等边△MAB，连接MC、MD，则∠MDC＝　15°　．
解：如右图所示，
∵△MAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAM＝60°，∠BAD＝∠ADC＝90°，BA＝BM＝AD，
∴MAD＝30°，∠AMD＝∠ADM，
∵∠MAD+∠AMD+∠ADM＝180°，
∴∠ADM＝75°，
∴∠MDC＝∠ADC﹣∠ADM＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15°．
16．已知一次函数y＝﹣2x+1，若﹣2≤x≤1，则y的最小值为　﹣1　．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝﹣2×1+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（不与点B、D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为 　30°或60°　．
解：如图，
在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：30°或60°．
18．将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，所得图象对应的函数解析式是 　y＝x﹣2　．
解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）．
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（4，0），（2，0）的对应点是（0，﹣2）．
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（4，0）、（0，﹣2）代入得，
解得，
∴旋转后对应的函数解析式为：y＝x﹣2，
故答案为：y＝x﹣2．
三．解答题（本大题8个小题，共78分，解答题要求写出说明步骤或解答过程）
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2．
20．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段 频数 频率
60≤x＜70 18 0.36
70≤x＜80 17 c
80≤x＜90 a 0.24
90≤x≤100 b 0.06
合计 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为　0.34　；样本成绩的中位数落在分数段　70≤x＜80　中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
解：（1）本次调查的作品总数为18÷0.36＝50（幅），
则c＝17÷50＝0.34，a＝50×0.24＝12，b＝50×0.06＝3，
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在70≤x＜80中，
故答案为：0.34，70≤x＜80；
（2）补全图形如下：
（3）600×（0.24+0.06）＝180（幅），
答：估计全校被展评作品数量是180幅．
21．甲、乙两个工程队同时开始维修某段路面，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的维修任务，已知甲队每小时维修路面的长度保持不变，乙队每小时维修路面50米，甲、乙两队在此路段的维修总长度y（米）与维修时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修长度为 　270　米；
（2）求甲队每小时维修路面多少米？
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
解：（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的维修道路长度为270米，
故答案为：270；
（2）乙队调离之前，甲、乙两队每小时的维修总长度为（米），
∵乙队每小时维修50米，
∴甲队每小时的维修长度为90﹣50＝40米；
（3）由题意，m＝270+40×3＝390．
∴此次任务的维修总长度为390米．
∴点B的坐标为（6，390），
设乙队调离后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象经过点A（3，270），B（6，390），
∴，
解得：，
∴乙队离队后y与x之间的函数关系式为y＝40x+150．
22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：∠BCE＝∠DCF；
（2）点G在AD上，连接GE，GC，若GE＝GD+DF，求此时∠GCE的大小．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，DF＝BE，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴∠BCE＝∠DCF．
（2）解：∵△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF．
∵GE＝GD+DF＝GF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴∠GCE＝∠GCF，
∵∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝∠ECD+∠BCF＝90°，
又∵∠ECF＝∠GCE+∠GCF＝2∠GCE，
∴∠GCE＝45°．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）∵A（﹣3，4），B（﹣4，1），
∴A″（3，4），B″（4，1）．
24．如图，点B、F、C、E在同一直线上，且BF＝CE，点A、D分别在直线BE的两侧，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD交BE于点O，若AO＝BO，请补全图形并证明：四边形ABDE是矩形．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）由（1）知，△ABC≌△DEF，BC＝EF，
∴∠BAC＝∠EDF，AC＝DF，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB∥DE，
∴∠ODE＝∠OAB，∠OED＝∠OBA，
∴ODE＝∠OED，∠CAO＝∠FDO，
∴OD＝OE，
∴AD＝BE，
在△ACO和△DFO中，
，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴AO＝DO，CO＝FO，
∴BO＝EO，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形．
25．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？
解：（1）当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，设运动时间为ts．
∴24﹣t＝3t，
解得t＝6．
∴6s时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）当AP＝BQ时，四边形PQBA是矩形，设运动时间为ts．
∴t＝26﹣3t，
解得t＝，
∴s时，四边形PQBA是矩形．
（3）设运动时间为ts．当BQ＝AB＝8时，26﹣3t＝8，
∴t＝6，
∵PA＝6?VP＝8，
∴VP＝cm/s．
26．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）求证：四边形ECFG是菱形；
（2）连接BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？
（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．
【解答】证明：（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）△BDG是等边三角形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝10，AD＝24，
∴BD＝＝＝26，
∴DM＝BD＝13．