浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二下学期期末数学试卷（Word解析版）

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二（下）期末数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）.
1．已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则集合（?UA）∩B等于（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{2，3}
2．直线l1：y＝ax与直线平行，则a＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知（1+i）?（a+2i）＝bi，（a，b∈R，i是虚数单位），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
4．已知空间向量，若，则可以是（　　）
A． B． C． D．
5．△ABC中，“tanA?sinB?sinC＜0”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，已知多面体A﹣BCDE的底面ABC为正三角形，四边形BCDE为矩形，棱CD与底面ABC垂直，CD＝2，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则△ABC的边长是（　　）
A． B．2 C． D．1
7．若过抛物线x2＝4y的焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面△ABC是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA'＝AB，则A'B与B'C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）
A． B．2+π C．1+π D．4+π
10．已知数列{an}，an＞0且满足an+12﹣2an+1＝2an，n∈N*，则下列说法中错误的是（　　）
A．若a1≠4，当n≥3时，有
B．若a1＝2，则
C．当a1∈（0，2）时，{an}是递增数列；当a1∈（4，+∞）时，{an}是递减数列
D．存在M＞0，使an≤M恒成立
二.填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11．若a＝log23，b＝log34，则ab＝　 　；log2a+log2b＝　 　．
12．已知双曲线，则双曲线实轴长＝　 　；当离心率e＝2时，则其渐近线的方程为 　 　．
13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝3，则c＝　 　；△ABC外接圆的面积是 　 　．
14．已知△ABC是边长为2的正三角形，P是线段BC（包括端点）上的一个动点，则的值是 　 　；的最小值是 　 　．
15．过点（1，0）且与函数y＝ex﹣1图象相切的直线方程为 　 　．
16．已知a，b∈R+且，则的最大值＝　 　．
17．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+3，g（x）＝4x﹣2x+1+2，若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a＝　 　．
三、解答题（本大题有5个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期T；
（2）当时，求f（x）的值域．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥PD；
（2）若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
20．已知等差数列{an}公差大于零，且a1＝1，a1，a2，a4成等比；数列{bn}满足b1＝1，bn＝bn﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
21．如图，椭圆的离心率为且经过点，P为椭圆上的一动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆，过点P作圆O的两条切线l1，l2，两切线的斜率分别为k1，k2．
①求k1k2的值；
②若l1与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足S△OPA＝S△OQB，求l1的方程．
22．（17分）已知f（x）＝xlnx﹣x，g（x）＝ax+b．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若b+ae＝0，且f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）＝g（x）在[e，e2]上有根，求a2+4b的最小值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）.
1．已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则集合（?UA）∩B等于（　　）
A．{1} B．{2} C．{3} D．{2，3}
解：由于全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，则?UA＝{3}，
∵集合B＝{2，3}，∴集合（?UA）∩B＝{3}．
故选：C．
2．直线l1：y＝ax与直线平行，则a＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵直线l1：y＝ax与直线平行，
又直线l2的斜率k＝﹣，
∴a＝k＝﹣．
故选：D．
3．已知（1+i）?（a+2i）＝bi，（a，b∈R，i是虚数单位），则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
解：∵（1+i）?（a+2i）＝bi，
∴a﹣2+（a+2）i＝bi，
∴，∴a＝2，
故选：C．
4．已知空间向量，若，则可以是（　　）
A． B． C． D．
解：因为空间向量，
对于A，因为﹣1×1+1×2+0×（﹣1）≠0，故与不垂直，故选项A错误；
对于B，因为1×1+2×0+（﹣1）×1＝0，所以，故选项B正确；
对于C，因为1×（﹣1）+2×2+（﹣1）×1≠0，故与不垂直，故选项C错误；
对于D，因为1×2+2×1+（﹣1）×（﹣2）≠0，故与不垂直，故选项D错误．
故选：B．
5．△ABC中，“tanA?sinB?sinC＜0”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴sinB＞0，sinC＞0，
①若tanA?sinB?sinC＜0，则tanA＜0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，
②若△ABC为钝角三角形，A不一定为钝角，∴tanA?sinB?sinC＜0不一定成立，
∴tanA?sinB?sinC＜0是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件，
故选：A．
6．如图，已知多面体A﹣BCDE的底面ABC为正三角形，四边形BCDE为矩形，棱CD与底面ABC垂直，CD＝2，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则△ABC的边长是（　　）
A． B．2 C． D．1
解：如图：设等边三角形ABC边长为a，取BC中点O，DE中点F，连接AO、OF、AF，
则△AOF为该多面体侧视图，△ABC为俯视图，
根据题意得S△ABC＝S△AOF可得：a2sin60°＝×2×a，解得a＝2．
故选：B．
7．若过抛物线x2＝4y的焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：抛物线焦点为（0，1），且斜率为1，
则直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程x2＝4y得y2﹣6y+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴y1+y2＝6
根据抛物线的定义可知|AB|＝y1+y2+p＝6+2＝8
故选：B．
8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面△ABC是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA'＝AB，则A'B与B'C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：作DA⊥AC，
又∵侧棱垂直于底面，
∴直线AA'，DA，AC两两垂直，
建立以A原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设AA'＝AB＝2，则A'（0，0，2），B（，1，0），B'（，1，2），C（0，2，0），
∴，
∴，，
cos＜A'B，B'C＞＝|cos|＝．
故选：D．
9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）
A． B．2+π C．1+π D．4+π
解：根据题意，点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，
S中的元素组成以（cos2α，sin2α）为圆心的圆心，半径为1的圆，设M（cos2α，sin2α）
又由，
则圆心M在线段x+y＝1，（0≤x≤1）上，
则点集S对应的图形如图，为矩形ABCD与两个半圆的组合图形，
其中AB＝2，BC＝，
则当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积S＝2×+π＝2+π；
故选：A．
10．已知数列{an}，an＞0且满足an+12﹣2an+1＝2an，n∈N*，则下列说法中错误的是（　　）
A．若a1≠4，当n≥3时，有
B．若a1＝2，则
C．当a1∈（0，2）时，{an}是递增数列；当a1∈（4，+∞）时，{an}是递减数列
D．存在M＞0，使an≤M恒成立
解：由于 得：
，
因为an＞0，所以（an?1）（an+1?1）＞0，
对于A，，
因为，所以，当 时，a2?1＜0，?，an?1＜0，an+1?1＜0，
所以，所以an＜an?1，故A不正确；
对于C，考虑函数，如图所示，
由图可知当an＞0 时，数列{an?an+1} 递减，
所以a1?a3＞a3?a5，即a1+a3＞2a3，所以C不正确；
对于D，设an+1＝x，则，
由上图可知，
即，
等价于，
等价于x2?2x+1≤0，
而x2?2x+1≤0 显然不成立，所以D不正确；
故选：ACD．
二.填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）
11．若a＝log23，b＝log34，则ab＝　2　；log2a+log2b＝　1　．
解：∵a＝log23，b＝log34，
∴，
∴log2a+log2b＝log2（ab）＝log22＝1．
故答案为：2，1．
12．已知双曲线，则双曲线实轴长＝　2　；当离心率e＝2时，则其渐近线的方程为 　　．
解：因为双曲线方程为：，所以a2＝1，则双曲线实轴长为2a＝2；
离心率e＝2时，则，∴b2＝3，其渐近线的方程为y＝．
故答案为：2，．
13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝3，则c＝　1或2　；△ABC外接圆的面积是 　　．
解：在△ABC中，，
∴根据正弦定理得：，解得，
∴，
①时，cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝，
∴根据余弦定理得，，∴c＝2；
②cosB＝时，cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝，
∴根据余弦定理得，，∴c＝1，
综上得，c＝1或2；
设△ABC外接圆半径为r，则，解得，
∴△ABC的外接圆面积是：．
故答案为：1或2，．
14．已知△ABC是边长为2的正三角形，P是线段BC（包括端点）上的一个动点，则的值是 　6　；的最小值是 　﹣2　．
解：由△ABC是边长为2的正三角形，可得（）×＝0；
P是线段BC（包括端点）上的一个动点，可得．
∵向量＝，
那么＝（）
＝+（）
＝22+2×2×cos60°+0
＝4+2
＝6；
由＝（）
＝（）?
＝+
＝2×﹣2×||．
当＝2时，可得最小值为﹣2，
得的最小值是﹣2．
故答案为6；﹣2．
15．过点（1，0）且与函数y＝ex﹣1图象相切的直线方程为 　y＝e（x﹣1）　．
解：设切点P（），
由y＝ex﹣1，得y′＝ex﹣1，则，
∴y＝ex﹣1在切点处的切线方程为，
把（1，0）代入，可得，
解得x0＝2．
则过点（1，0）且与函数y＝ex﹣1图象相切的直线方程为y＝e（x﹣1）．
故答案为：y＝e（x﹣1）．
16．已知a，b∈R+且，则的最大值＝　　．
解：∵，
＝+＝?+＝?（1﹣）+＝﹣（）2+3?＝﹣（﹣）2+≤，
故当＝，即a＝，b＝8时，等号成立，
故答案为：．
17．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+3，g（x）＝4x﹣2x+1+2，若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a＝　4　．
解：g（x）＝4x﹣2x+1+2＝（2x）2﹣2?2x+2＝（2x﹣1）2+1，
当 x∈[﹣1，1]时，，
所以当 2x＝2，即 x＝1 时，g（x） 取最大值 g（x）max＝g（1）＝2．
题意转化为 f（x1）min?g（x2）max，所以 f（x1）min?2，
即?x∈[﹣1，1]，f（x）?2 恒成立，所以 ，解得 2?a?4．
f′（x）＝3ax2﹣3＝3（ax2﹣1），令 f′（x）＝0，解得 ，
当 时，f′（x）＞0；当 时，f′（x）＜0；当 时，f′（x）＞0，
所以 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
于是当 x∈[﹣1，1]时，，即 ，解得 a＝4．
故答案为：4，
三、解答题（本大题有5个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期T；
（2）当时，求f（x）的值域．
解：（1）∵＝，
所以定义域为；
（2）因为，所以∈，
则，
所以f（x）∈[﹣2，2），
故f（x）的值域为[﹣2，2）．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥PD；
（2）若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AC中点记为O，连OP，OD，∵OD∥CB，AC⊥CB，∴AC⊥CD……2′
又∵……2′+2′
（2）解：法一：取PA中点记为N，连ON，
作OM⊥AB于M，连PM；
作OH⊥PM于H，连NH……3′
∵，
又∵OH⊥PM，∴OH⊥面PAB，PC∥ON，∴PC与平面PAB所成的角即为ON与平面PAB所成的角，……3′
∴，
即所求角的正弦值为：．……3′
法二（体积法）：先证PO⊥平面ABC，
又……4′
……3′
∴……2′
法三（向量法）：由（1）及PD2＝PO2+OD2，
知OA，OP，OD两两垂直，……1′
建立如图空间直角坐标系：
，
，，……2′
设面PAB法向量为，则．令z＝1时，……2′+2′
∴……2′
20．已知等差数列{an}公差大于零，且a1＝1，a1，a2，a4成等比；数列{bn}满足b1＝1，bn＝bn﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意知：（1+d）2＝（1+3d）?d＝1（舍去d＝0），
∴an＝1+（n﹣1）?1＝n．
．
（2）∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
由于，
∴．
21．如图，椭圆的离心率为且经过点，P为椭圆上的一动点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆，过点P作圆O的两条切线l1，l2，两切线的斜率分别为k1，k2．
①求k1k2的值；
②若l1与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足S△OPA＝S△OQB，求l1的方程．
解：（1）∵，
，则a＝2，
故椭圆方程为．
（2）①设P（x0，y0），切线l：y﹣y0＝k（x﹣x0），∴kx﹣y+y0﹣kx0＝0，
∴，
∴，
∴，
②∵S△OPA＝S△OQB?PA＝BQ?xA﹣xP＝xQ﹣xB?xP+xQ＝xA+xB，
设切线方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立可得：
（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，
∵，设，
∴＝，
又∵，
故所求的切线方程为：或．
22．（17分）已知f（x）＝xlnx﹣x，g（x）＝ax+b．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若b+ae＝0，且f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）＝g（x）在[e，e2]上有根，求a2+4b的最小值．
解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣x，所以f'（x）＝lnx+1﹣1＝0，
令f'（x）＝0，解得x＝1，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递增，
故f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增；f极小值（x）＝f（1）＝﹣1；
（2）因为f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，
所以xlnx﹣x≥a（x﹣e）对x∈[e，+∞）恒成立，
令h（x）＝xlnx﹣x﹣a（x﹣e），则h（e）＝0，
又h'（x）＝lnx﹣a，x∈[e，+∞），
若a≤1，则h（x）在x∈[e，+∞）上为单调递增函数，所以有h（x）≥h（e）＝0；
若a＞1，则h（x）在x∈[e，ea）上为单调递减函数，所以在x∈[e，ea）时有h（x）＜h（e）＝0．
综上所述，实数a的取值范围为a≤1；
（3）令h（x）＝xlnx﹣x﹣ax﹣b，则h'（x）＝lnx﹣a，x∈[e，+∞），
由（1）知，当a≤1时，h（x）在x∈[e，+∞）上为增函数，
所以当a≤1时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，
则a2+4b≥a2﹣4ae（a≤1），最小值为1﹣4e；
当a＞1时h（x）在x∈[e，ea）上递减，在x∈[ea，+∞）上单调递增，
当1＜a≤2时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，
则a2+4b≥a2﹣4ea（a∈（1，2]），
令y＝x2﹣4ex，则y'＝2x﹣4ex，则y''＝2﹣4ex，由此可得函数y＝x2﹣4ex单调递减，
所以最小值为4﹣4e2，
当a≥2时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，
则a2+4b≥a2+4e2﹣4ae2（a∈（2，+∞）），
所以最小值为4e2（1﹣e2）．
综上所述，所以最小值为4e2（1﹣e2）．