1.3.2 正方形的判定 课时训练卷 2021-2022学年北师版九年级数学上册 （Word版 含答案）

北师版九年级数学上册
1.3.2　正方形的判定
课时训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(
)
A．AB＝BD且AC⊥BD
B．∠A＝90°且AB＝AD
C．∠A＝90°且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
2．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是(　　)
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
3．红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　)
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
4．下列说法不正确的是(
)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6
cm，BC＝8
cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为(
)
A．6
cm
B．4
cm
C．3
cm
D．2
cm
6.
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是(
)
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BC
D．AC⊥BD
7．
在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是(
)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
8．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(
)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC
B．BD＝DF
C．AC＝BF
D．CF⊥BF
10．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(
)
A.AB＝CD，AB⊥CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD∥BC
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．
?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：___________________，使得?ABCD为正方形．
12.
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件___________，使其成为正方形．(只填一个即可)
13．
顺次连接四边形ABCD各边中点所围成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线满足的条件是_______________.
14．如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________°角
15．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是_________．
16．如图，在矩形ABCD中，FB，FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE.添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的有___________．(填序号)
17．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD，AC应满足的条件是_______________________
18．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
三．解答题（共6小题，
46分）
19．(6分)
如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形
.
20．(7分)
如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
21．(7分)
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
22．(8分)
如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证：四边形ACED是正方形．
23．(8分)
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
24．(10分)
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
参考答案
1-5
AADDD
6-10DDBCA
11.
∠BAD＝90°
12.
AB＝BC
13.
互相垂直且相等
14.
45
15.
①②③
16.
①②③④
17.
BD＝AC且BD⊥AC
18.
8
19.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形
20.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，∴AE＝AB＝DE＝CD.又∵∠A＝∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABE＝∠DCE＝45°.∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°，BE＝CE.∴平行四边形BECF是正方形
21.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形
22.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ADC＝∠OCE，∠DAO＝∠CEO.∵O是CD的中点，∴OC＝OD，∴△AOD≌△EOC(AAS).∴OA＝OE.
∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴?ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴菱形ACED是正方形
23.
解：(1)∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形　
(2)当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD，故四边形ADCF是正方形
24.
证明：(1)在△ADE与△CDE中，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE.又∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.又∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AD＝CD，∴?ABCD是菱形
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.
又∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×＝45°.
又∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝2∠CBE＝90°，∴菱形ABCD是正方形
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