2020-2021学年人教版数学九年级上册21.2.2公式法 课件（20张PPT）

八年级下册
4.3 公式法
第2课时
学习目标
1
2
掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式.
逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.
1. 下列各式是完全平方式的是（　 　）
A．x? -x+ B．1 + x? C．x+xy+1 D．x?+2a-1
2. 对照完全平方公式a?±2ab＋b?=（a±b）?填表：
前置学习
A
a?±2ab＋b?
a
b
（a±b）?
16x?＋24x+9
4x
3
（4x+3）?
－x＋x?
?
x
（?－x）?
a?＋4－4a
a
2
（a－2）?
4a?＋25b?－20ab
2a
5b
（2a－5b）?
合作探究
探究点一：
问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)：
(a+b)?=a?+2ab+b?，(a-b)?=a?-2ab+b?
反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
a?+2ab+b?=(a+b)?， a?-2ab+b?=(a-b)? ；
形如 的式子称为完全平方式.
根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 .
（a?±2ab+b?）
公式法
合作探究
问题2：把下列完全平方式因式分解：
（1）x ?＋14x＋49； （2）（m＋n）?－6（m+n）＋9
解：(1) x ?＋14x＋49
=x ?+2×7x+7 ?
=(x+7) ?
(2)（m＋n）?－6（m+n）＋9
=[(m+n)-3] ?
=(m+n-3) ?
探究点二
问题1： 因式分解下列各式
（1）3ax?+6axy+3ay?； （2）－x?－4y?+4xy.
解：（1）3ax?+6axy+3ay?
=3a(x?+2xy+y?)
=3a(x+y) ?
（2）－x?－4y?+4xy
=-(x?+4y?-4xy)
=-(x?-4xy+4y?)
=-[(x?-2?x?2y+(2y) ?]
=-(x-2y) ?
合作探究
合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.
首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数.
因式分解的一般步骤：
（1）“提”，先看多项式各项，有就提出来；
（2）“套”，尝试用乘法公式来分解；
（3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
问题2：已知a、b、c是?ABC的三边，且满足a ?+b ?+c ?=ab+ac+bc，是说明?ABC是等边三角形.
解：∵a?+b?+c?=ab+bc+ac,
∴a?+b?+c?-ab-bc-ac=0
等式两边同乘以2，得
2a?+2b?+2c?-2ab-2bc-2ac=0
（a?-2ab＋b?）＋（b?-2bc＋c?）＋（c?-2ac＋a?）=0
∴(a-b)?+(b-c)?+(c-a)?=0，
a=b=c 即?ABC为等边三角形
合作探究
合作探究
探究点三
问题：阅读材料
我们知道对于二次三项式x?＋2ax＋a?这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）?的形式，但是对于二次三项式x?+2ax-3a? 就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下的办法：
x?+2ax-3a?=x?+2ax+a?-a?-3a?
=（x+a）?-（2a）?
=(x+3a)(x-a)
像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。
（1）这种方法的关键是 ；
（2）用上述方法把a ?－8a+15因式分解.
凑成完全平方式
合作探究
问题：阅读材料
我们知道对于二次三项式x?＋2ax＋a?这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）?的形式，但是对于二次三项式x?+2ax-3a? 就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下的办法：
x?+2ax-3a?=x?+2ax+a?-a?-3a?
=（x+a）?-（2a）?
=(x+3a)(x-a)
（2）用上述方法把a ?－8a+15因式分解.
解：（2）a?-8a+15= a?-8a+16-16+15
=（a-4）?-1
=（a-3）（a-5）
举一反三
1. 若x ?+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．
解：∵x ? +2（a+4）x+25是完全平方式，
∴2（a+4）=±2×5，
解得a=1或a=-9．
故a的值是1或-9．
举一反三
2. 已知二次三项式x?﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x ?﹣4x+m=x?+（n+3）x+3n
∴n＋3=-4，m=3n．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
随堂检测
1．下列式子中是完全平方式的是( )
A．a?＋ab＋b? B．a?＋2a＋2
C．a?－2b＋b? D．a?＋2a＋1?.
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x?＋x＋1 B．x?＋2x－1
C．x?－1 D．x?－6x＋9
D
D
随堂检测
3．多项式mx?－m和多项式x?－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x?－1 D．(x－1) ?
4．对(x－1) ?－2(x－1)＋1因式分解的结果是( )
A．(x－1)(x－2) B．x?
C．(x＋1) ? D．(x－2) ?
D
A
随堂检测
随堂检测
5. 把下列各式因式分解
(1)16x ?－(x ?＋4) ?；
解：原式＝(4x＋x ?＋4)(4x－x ?－4)
＝－(x＋2) ? (x－2) ?.
(2)(x ?－2xy＋y ?)＋(－2x＋2y)＋1.
解：原式＝(x－y) ?－2(x－y)＋1
＝(x－y－1) ?.
课堂小结
1.要想运用完全平方公式分解因式，必须紧扣完全平方公式的特点.
（1）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方. 这两个项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可.
（2）右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方.当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；反之，则是差的平方.
2. 因式分解的一般步骤：
（1）“提”，先看多项式各项，有就提出来；
（2）“套”，尝试用乘法公式来分解；
（3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
课后作业
1．把下列多项式因式分解，结果正确的是( )
A．4a?＋4a＋1＝(2a＋1) ?
B．a?－4b?＝(a－4b)(a＋b)
C．a?－2a－1＝(a－1) ?
D．(a－b)(a＋b)＝a?－b?
2．把代数式3x?－12x?＋12x因式分解，结果正确的是( )
A．3x(x?－4x＋4) B．3x(x－4) ?
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2) ?
A
D
课后作业
3．(1)若x?－6x＋k是完全平方式，则k＝ ；
(2)若x?＋kx＋4是完全平方式，则k＝ ．
4.把下列各式因式分解：
(1)(a－b) ?＋4ab； (2)－2a ?b ?＋8a ?b ?－8ab ?；
解：（1）原式＝a ?－2ab＋b ?＋4ab
＝a2＋2ab＋b ?
＝(a＋b) ?.
（2）原式＝－2ab ? (a ?－4a＋4)
＝－2ab ? (a ?－2×a×2＋2 ?)
＝－ 2ab ? (a－2) ?.
9
±4
课后作业
5. 观察思考:
1×2×3×4+1=25=5 ?, 2×3×4×5+1=121=11 ?,
3×4×5×6+1=361=19 ?, 4×5×6×7+1=841=29 ?,　…　…　…　…
从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?
解:结论四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.
证明:设最小的自然数是n,则这四个自然数的积与1的和可以表示为
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n ?+3n)(n ?+3n+2)+1
=(n ?+3n) ?+2(n ?+3n)+1
=(n ?+3n+1) ?.
再见