2020-2021学年人教版数学九年级上册用因式分解求解一元二次方程（16张PPT）

用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程.
（重点）
2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.（难点）
学习目标
导入新课
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
因式分解法解一元二次方程
一
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
因此
x1 = 0, x2 = 3.
所以这个数是0或3.
小颖的思路：
小明的思路：
方程 x2 = 3x 两边
同时约去x, 得
x = 3 .
所以这个数是3.
讲授新课
小亮的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
即 x (x - 3) = 0
于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.
因此 x1 = 0 , x2 = 3
所以这个数是0或3
小亮想：
如果a·b= 0,那么
a=0 或 b=0
问题：他们做得对吗？为什么？
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例1：解下列方程：
（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2).
解：5x2 - 4x = 0,
x (5x - 4) = 0.
∴x = 0 或 5x – 4 =0.
∴ x1 = 0 , x2= .
解：(x - 2) – x (x - 2) = 0,
(x - 2) (1 - x) = 0.
∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0.
∴ x1 = 2 , x2=1.
（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个实数根分
别为p，q.
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x - p）(x - q )=0的形式.
结论
拓展提升
解下列方程：
（1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ; （2）(x - 2) 2 = (2x + 3) 2.
解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 ,
(2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0,
(2x + 3) (2x - 1) = 0.
∴ 2x + 3 = 0 或 2x - 1 = 0.
解：（x - 2）2 - (2x + 3) 2 =0,
( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0,
(3x + 1)(x + 5) = 0.
∴ 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0.
灵活选用方法解方程
二
典例精析
例2 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2 =
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1= , x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,

填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
要点归纳
解法选择基本思路
1.快速说出下列方程的解
（1）（4x - 1）(5x + 7) = 0; x1 =（ ）, x2= ( ).
（2） (x - 2)(x - 3) = 0; x1 =（ ）, x2 = ( ).
（3）（2x + 3）(x - 4) = 0; x1 =（ ）, x2 = ( ).
2.将下面一元二次方程补充完整.
（1）（2x- ）( x + 3) = 0; x1= , x2= - 3.
（2） (x- )(3x - 4) = 0; x1= 2 , x2= .
（3）（3x+____）(x + ) = 0; x1= , x2= -5.
5
1
2
-1
5
当堂练习
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
3.解方程：
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).