2021沪科版七年级数学专题五方程与不等式
一、解答题
某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择．
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用．
问投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高为什么注：投资收益率投资收益
对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后甲获得的收益将比乙多5万元问：甲、乙两人各投资了多少万元
列方程组解应用题：
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：
批发价元
零售价元
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别为公顷、10公顷和24公顷，第一块牧场的草可供12头牛吃4个星期，第二块牧场的草可供21头牛吃9个星期，第三块牧场的草可供多少头牛吃18个星期
列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600米，一个人骑摩托车从A处以的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶另一人骑自行车从B处以的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．
经过多少秒摩托车追上自行车
两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米
在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为乙看错了方程组中的b，而得解为
甲把a看成了什么乙把b看成了什么请你求出原方程组的解．
网约车越来越受到大众的欢迎某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元千米计算，耗时费按q元分钟计算总费用不足10元按10元计价李明、王刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数、耗时以及打车总费用如下表：
里程数千米
耗时分钟
车费元
李明
8
8
12
王刚
10
12
16
求p，q的值
若张华也用该打车方式出行，平均车速为50千米时，行驶了15千米，那么张华的打车总费用为多少
某学校组织学生乘汽车去野营，先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了问平路和坡路各有多长
为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元．
如果小红家每月用水18吨，水费是多少如果每月用水25吨，水费是多少
如果用字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢
如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水
2019年12月8日，“凤凰商城”喜迎三十年盛典该店某品牌标价每件100元的商品推出了如下的优惠促销活动：
一次性购物总金额
优惠措施
少于或等于700元
一律打八折
超过700元，但不超过900元
一律打六折
超过900元
其中900元部分打五折，超过900元的部分打三折
徐老师一次性购买该商品12件，实际付款??????????元
张阿姨一次性购买该商品若干件，实际付款480元，请认真思考，求出张阿姨购买该商品的件数的所有可能．
某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．
解不等式：．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
?
解不等式组，得；解不等式组，得．
所以原不等式的解集为或．
应用上述方法，试求不等式的解集．
威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米小时且不高于60千米小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．
友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
当时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和1个灰色垃圾桶共需280元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需460元．
求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？
为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过9000元的资金购入两种垃圾桶共计100个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？
每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果中的所有购买方案费用相同，求m与n之间的数量关系．
若关于x，y的二元一次方程组的解满足x，y都是非负数，求m的取值范围．
定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，．
如果，那么a的取值范围是_________；
如果，求满足条件的所有正整数x．
“保护好环境，拒绝冒黑烟”某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型公交车x辆，完成下表：
数量辆
购买总费用万元
载客总量万人次
A型车
x
______
60x
B型车
______
______
______
若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？
为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生测温和教室消毒工作．
若原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的原价．
由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买10支测温枪和110瓶消毒剂，套餐二：一次性购买20支测温枪和100瓶消毒剂．设优惠后每支测温枪a元，每瓶消毒剂b元，已知，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．
观察下列等式：
第1个等式：第2个等式：
第3个等式：第4个等式：．
请回答下面的问题：
按以上规律，第5个等式为????????????????????????????????????????．
用含n的式子表示第n个等式：????????????????????????????????????????为正整数．
求的值．
端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的倍．
求A、B两种粽子的单价各是多少？
若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2016年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的倍，这样可提前4年完成任务．
问实际每年绿化面积多少万平方米？
为加大创城力度，市政府决定从2019年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少；
若学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，需付给乙队的绿化费用为万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
观察下列等式：；；；．
猜想并写出第为正整数个等式；
说明你写出的等式成立的理由．
观察下列等式：
根据上述规律解决下列问题：
写出第个等式
写出你猜想的第个等式用含n的式子表示，并说明理由．
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第1页，共1页2021沪科版七年级数学专题五方程与不等式
【答案】
1.
解：设商铺标价为x万元，若按方案一购买，
则可获投资收益为万元，
投资收益率为．
若按方案二购买，
则可获投资收益为万元，
投资收益率为．
因为，所以投资者选择购铺方案二，5年后所获得的投资收益率更高．
由可知，当商铺标价为x万元时，按购铺方案一购买可获投资收益万元，
按购铺方案二购买可获投资收益万元，
由题意可得，解得，所以．
答：甲投资了万元，乙投资了万元．??
2.
解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
，
解得，
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．??
3.
解：设牧场每公顷原有草xt，每个星期每公顷新生草yt，每头牛每个星期吃草at，
根据题意，得
化简，得
，得，所以．
将代入，得，解得．
所以因此．
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期．
??
4.
解：设经过x秒摩托车追上自行车，
则由题意得，解得．
答：经过80秒摩托车追上自行车．
设经过y秒两人在行进路线上相距150米，
由题意知有两种情况，
第一种情况：摩托车还差150米追上自行车，
此时，解得经检验满足题意．
第二种情况：摩托车超过自行车150米，
此时，解得经检验满足题意．
答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．
??
5.
解：将，代入，
得，解得，
甲把a看成了．
将，代入，
得，解得，
所以乙把b看成了．
将，代入，得，
所以，
将，代入，得，
所以，所以原方程组为
解得
??
6.
解：李明的里程数是8km，时间为；王刚的里程数为10km，时间为，由题意得，解得．
张华的里程数是15km，时间为，
则总费用是元．
答：张华打车总费用是24元．??
7.
解：设平路为xkm，坡路为ykm，
根据题意，得，解得
答：平路为150km，坡路为120km．
??
8.
解：元，元．
答：如果小红家每月用水18吨，水费是54元
如果每月用水25吨，水费是80元．
当时，应缴水费3x元
当时，应缴水费元．
设该月小红家用水y吨．
因为，
所以有，解得．
答：该月小红家用了30吨水．??
9.
解：?由于元，
所以根据题意知，实际付款元，
故答案为540．
设张阿姨购买该商品的件数是x件，
一次性购物总金额少于或等于700元时，，解得经检验符合题意
一次性购物总金额超过700元，但不超过900元时，，解得经检验符合题意
一次性购物总金额超过900元时，，解得经检验符合题意．
综上所述，张阿姨购买该商品的件数可以是6件或8件或10件．??
10.
解：设农场去年计划生产玉米x吨，小麦y吨，根据题意可得：
，
解得：，
则去年实际生产玉米吨，
去年实际生产小麦吨，
答：农场去年实际生产玉米吨，小麦吨．??
11.
解：根据有理数的乘法法则异号得负，
可得，，
解不等式组，得；
解不等式组，无解，
原不等式的解集为．??
12.
解：设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元，
由题意得：
解得：，
答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元；
设威丽商场需购进A种商品a件，则购进B种商品件．
由题意得：
，
解得：，
答：威丽商场至少需购进6件A种商品．??
13.
解：依题意，得：，
解得：．
答：t的取值范围为．??
14.
解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
当时，
方案一：，
方案二：，
当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是元；
若，方案一每台按售价九折销售，方案二每台按售价销售，所以采用方案一购买合算；
若，
方案一：，
方案二：当时，，
则，
，
的取值范围是且x为正整数??
15.
解：设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：
，
解得：，
小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，
元，
销售完后，该水果商共赚了3200元；
设大樱桃的售价为a元千克，
，
解得：，
答：大樱桃的售价最少应为元千克．??
16.
解：设每个绿色垃圾桶的进价为x元，每个灰色垃圾桶的进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个绿色垃圾桶的进价为100元，每个灰色垃圾桶的进价为80元．
设购入a个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
可能为45，46，47，48，49，50．
共有6种购买方案．
设购买总费用为w元，则，
中的所有购买方案费用相同，
，
．??
17.
解：
根据等式性质，，得．
．
把代入，得，
．
，y都是非负数，
．??
18.
解：．
根据题意，得，解得，?
则满足条件的所有正整数x为5，6．
??
19.
100x?
?
?
??
20.
解：设每瓶消毒剂的原价为x元，每支测温枪的原价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每瓶消毒剂的原价为55元，每支测温枪的原价为345元．
套餐A的总价为元；
套餐B的总价为元，
，
又，
，
，
，
套餐A的总价更低．??
21.
解：
原式
．
??
22.
解：设B种粽子单价为x元个，则A种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：A种粽子单价为3元个，B种粽子单价为元个．
设购进A种粽子m个，则购进B种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：A种粽子最多能购进1000个．??
23.
解：设B型芯片的单价为x元条，则A型芯片的单价为元条，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：A型芯片的单价为26元条，B型芯片的单价为35元条．
设购买a条A型芯片，则购买条B型芯片，
根据题意得：，
解得：．
答：购买了80条A型芯片．??
24.
解：
设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米，根据题意，得
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
则万平方米，?????????????????????????
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
设从2019年起，平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
，
解得：，
答：则从2019年起，至少每年平均增加45万平方米．??
25.
解：
甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是
至少应安排甲队工作10天
??
26.
解：
．
因为左边，
?
?
?
?
右边，
?
?
?
?
所以左边右边，
?
?
?
??即等式成立．
??
27.
?由题意可得第个等式为．
第个等式为，
证明：左边右边，
所以等式成立．
??
【解析】
1.
略
2.
设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3.
略
4.
略
5.
略
6.
略
7.
略
8.
略
9.
略
10.
此题主要考查了二元一次方程组的应用、加减消元法解二元一次方程组解题关键在于根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式列出方程组．
设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，利用去年计划生产小麦和玉米200吨，则，再利用小麦超产，玉米超产，则实际生产了225吨，得出等式，进而组成方程组，解出方程组即可求出答案．
11.
本题考查一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
把不等式转化成两个不等式组，分别求出两不等式组，即可求解．
12.
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的数量关系是解答本题的关键正确理解表示不等关系的词语至少的意义是解答第的关键．
设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
设购进A种商品a件，则购进B种商品件根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．
13.
根据路程速度时间结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米小时且不高于60千米小时的范围内，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
14.
根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据优惠方案，列式计算；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式．
15.
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出费用关系是解题关键．
根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，列二元一次方程组求解即可；
根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，得出不等式求出答案．
16.
设每个绿色垃圾桶的进价为x元，每个灰色垃圾桶的进价为y元，根据“若购进2个绿色垃圾桶和1个灰色垃圾桶共需280元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需460元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购入a个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用不超过9000元且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出购买方案的个数；
设购买总费用为w元，根据总价单价数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w的值与a无关系，即可找出m与n之间的数量关系．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
17.
本题考查了解二元一次方程组及一元一次不等式的解法，根据等式性质，将，得，再根据非负数的性质，即可求得答案．
18.
略
19.
解：设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，依题意列方程得，
，解得?
由中的?可得：
数量辆
购买总费用万元
载客总量万人次
A型车
x
100x
60x
B型车
故答案是：
数量辆
购买总费用万元
载客总量万人次
A型车
x
100x
60x
B型车
设购买x辆A型公交车，则购买辆B型公交车，依题意列不等式组得，
，
解得?，
是整数
，7，8
有三种方案一购买A型公交车6辆，B型公交车4辆
???
二购买A型公交车7辆，B型公交车3辆
????三购买A型公交车8辆，B型公交车2辆
因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案
最少费用为：万元
答：购买A型和B型公交车每辆各需100万元、150万元
该公司有3种购车方案，第3种购车方案的总费用最少，最少总费用是1100万元．
设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，购买总费用单价数量；
由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可；分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断．
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
20.
设每瓶消毒剂的原价为x元，每支测温枪的原价为y元，根据“原价购买一瓶消毒剂和一支测温枪需400元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂价格的6倍还贵15元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论；
利用总价单价数量，可分别用含a，b的代数式表示出A，B两优惠套餐的总价，做差后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及不等式的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，分别用含a，b的代数式表示出A，B两优惠套餐的总价．
21.
略
22.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设B种粽子单价为x元个，则A种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进A种粽子m个，则购进B种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
23.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
设B型芯片的单价为x元条，则A型芯片的单价为元条，根据数量总价单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买a条A型芯片，则购买条B型芯片，根据总价单价数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
24.
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解分式方程时，一定要记得验根．
设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米，根据“实际每年绿化面积是原计划的倍，这样可提前4年完成任务”列出方程进行求解；
设从2019年起，平均每年绿化面积增加a万平方米，则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式进行求解．
25.
略
26.
略
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略
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